试题评价的微观深入和窥一斑可见全豹

全国卷的能力立意， 在各个章节得到体现， 考查的灵活性和创新性导致了很多变数，作者反复专研从 2002 年以来全国卷的高考题， 反复读和思考 2009 年以来考试中心对高考试题的评价， 反复研读史宁中教授关于核心素养的书与文章， 张奠宙的书。
《全国卷高考数学分析及应对》 结合考纲、 课标、 教材、 核心素养对高考题做了一个全面系统的分析， 同时结合核心素养、 哲学和波利亚的解题策略对解题进行深入的思考， 寻求解题新的突破。

例.（2016 全国 3 文理第 18 题） 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨） 的折线图.

(Ⅰ） 由折线图看出， 可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系， 请用相关系数加以说明；

(Ⅱ） 建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01）， 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量 .

一、 与考纲要求的不一致

这个题考查了相关系数， 第一次看到， 很多人会想相关系数是什么？一翻教材， 在必修3 的 84 和 85 页阅读部分。再看看考纲， “会作两个有关联变量的数据的散点图， 并利用散点图认识变量间的相关关系”， 只提用散点图判断， 并没有说通过相关系数的计算来判断，这是不是有点超纲？

早在上个世纪， 90 年代， 高考就超纲， 给出的解释是依据考纲， 但不拘泥于考纲。把全国卷的高考题拿过来看， 不仅超纲， 而且坚持超纲， 超纲情况， 可以分为三种， 一是赤裸裸地超纲， 如 2012 新课标 12 题考查反函数， 二是打擦边球， 如文科复合函数， 有复合函数求导知识， 很容易， 没有， 很容易就犯错， 导致失分严重。三是知识定位从属于能力、 思想
立意 .

二、 理解知识——为什么考

为什么要考相关系数呢？相关系数在统计学又有什么样的地位呢？带着这样的疑惑， 我开始翻看课程标准及说明， 叙述如下：变量间的关系， 是人们感兴趣的问题， 在现实世界中大量存在不能用函数模型描述的变关系， 研究其关系显得非常重要， 回归分析和独立性检验都是非常常用的统计方法， 在统计学中占有很重要的地位。其知识框架如下：

百度得到如下描述：1885 年高尔顿第一次提出了“回归” 的概念， 10 年后皮尔逊提出了注明的皮尔逊相关系数 r， 直到今天， 这一相关系数也在被广泛应用， 100 年来， r 发展成更宽泛、 更多样化、 更概念化的统计量。
看到这个地方才明白， 考是应该的。

三、 怎么考？——纵向追溯、 横向比较

纵向往前追溯， 2012 新课标文考查过， 全国卷文理常常会相互借鉴， 偶尔会相互推进。再横向看看地方卷。2011 江西的考的是相关系数正负和正负相关的一致性， 2011 陕西考查的是对相关系数和回归直线方程系数的辨析。初看 2012 新课标文考查的是相关系数的极限情况的认知， 细看则是希望我们结合散点图， 认知相关系数和注意与 b 的区别。2016 考查的是对相关系数这个量意义的考查， 从这个角度来看， 确实全国卷的考查更有价值， 立意更高， 更大胆。

在 2017 文科 1 卷第 19 题再次考查， 和 2016 如出一辙， 以前是相关性很强， 现在是相关性很弱。

四、 考试中心试题的宏观评价

随着我国经济的飞速发展， 人民生活水平和生活质量得到显著提高， 人们的环境保护意识不断增强， 国家对环境保护越来越重视， 不断加大环境保护力度， 该题以此背景命制试题， 背景来源于社会实际， 贴近生活， 易于理解， 体现概率与统计知识与社会生活的密切联系， 展示了概率与统计的魅力。通过背景设置， 在达到考查考生对概率与统计知识掌握程度的同时，展示概率与统计的应用领域。该题给出了参数数据， 避免考生进行繁琐的计算， 立足于基本能力的考查， 突出了考查的重点， 对统计与概率知识的教育具有很好的导向作用。

该题以当前社会关系的热点问题为背景设计， 数据真实， 体现了统计与概率知识的应用魅力。所给的折线图， 直观、 形象、 真实地反映出我国近年来的生活垃圾无害化处理量呈线性增长， 定量分析的结果从理论上对这一结论给予了支持， 充分展现了我国环境保护意识的不断增强， 在不断改进保护措施、 加大保护力度方面取得的辉煌成就， 传递了正能量， 很好地体现了“立德树人” 的教育理念。

考试中心的评价谈到了“立德树人”、“引导教学”；谈到了“基本能力” 和“应用性”，这都是宏观层面进行解读。

五、 解题评价的微观深入

立德树人是潜移默化的， 对于考生来说， 解答此题关键有两个：一是无法根据给出的公式进行计算， 二是近似处理。

(一） 得分率低的原因探究

再看看考纲“了解最小二乘法的思想， 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数方程公式不要记忆）”， 明确提出不需要记忆。此题 yi 没有具体的数据， 需要把公式进行变形。第一次考就考得这么狠， 实在是匪夷所思， 云南省教科院写了一篇文章说云南省 2016 年平均分太低了， 比 2012 年还要低， 不是绝对难度大， 而是试题和学生心目中想象的不一样， 包括这一年的 21 题。

(二） 命题立意与考查再思考

为什么这样考？是要引导学生回归公式的推导过程？但考试中心的试题评价却没有这样说， 它说是能力立意， 那解决这个问题的过程中， 需要哪些能力？统计概率的考查篇幅都很长， 不含空格， 字符最高可达 440， 一般都要 300 左右， 这对数学阅读能力提出了很高的要求。

数据处理能力和现在提的核心素养中的数据分析， 这要求考生理解问题所提供的文字、数字、 图形和图表等信息， 并能从中提取有关信息， 并对它们进行分析和处理， 我们可以这样理解：数据是包含着信息的， 数据呈现也是有一定的方式， 这种方式和给出的公式不一致，就需要我们进行处理。此题提供的是真实数据， 全国卷很多概率统计都是以真实数据或图表
呈现， 而统计图常常不能反应原始数据， 在计算的时候需要估算， 需要选择与数据结构相吻合公式的变形。根据数据的特点选择不同的计算方式以及对公式或数据进行变形和对参考数据的解读， 这些都是最基本的， 所以与数据处理能力相伴而生的有对数据的解读和对数据或公式变形。

2016 年这样考， 之前也这样考， 如 2007 年海南宁夏卷的 20 题和 2014 全国 1 卷文科第18 题， 之后还这样考， 如 2017 全国 1 卷文理的第 18 题。从关键能力和核心素养看高考，往往会发现高考就像连载故事一样， 一个主题， 不一样的精彩， 如考查统计概率中的决策，2012 买玫瑰花、 2016 全国 1 卷买零件， 2017 全国 2 卷买酸奶， 特别是 2012 卖玫瑰花， 给出进货量， 把需求量和进货量进行比较， 2017 年全国 2 买酸奶给出了变化着的需求量， 把进货量和需求量进行比较， 让我们感觉到似曾相识但不相认， 平凡中赋予新意。

但 2017 全国 1 卷文理的第 18 题， 很多学生就不选择考试中心给出的选择第二个方差公式进行变形和计算， 直接通过看似最笨的方法， 思维简单、 运算也简单。

(三） 优化细节处理

2016 年要求系数精确到 0.01， 在计算 b 的时候近似处理， 会导致 a的精确度下降， 所以应该选择 b 精确到 0.001， 计算完 a之后， 再近似处理， 这是考试中心给的解法。如果以 b的分数形式计算 a， 然后再近似处理， 这是最精确的方式， 计算也很方便。