陕西省特级教师魏玉英：让“数形结合思想”浸润在教学中——《二元一次方程与一次函数》同课异构课例分析

魏玉英，安康市平利县城关初级中学数学教师，陕西省特级教师，陕西省教学能手，安康市突出奉献专家

所谓数形结合，就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又掲示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。运用数形结合思想解题的目的就是要化繁为简，变难为易。本文选取的是陕西省教学能手回炉培训中的课堂展示案例，现以北师大版数学《 二元一次方程与一次函数》一课的教学为例，比较和分析执教教师在教学中数形结合思想方法的运用情况。

一、教材分析

《二元一次方程与一次函数》是北师大版八年级上册第五章第六节内容。从教材内容看，本节课是在学习二元一次方程及方程组之后，专门研究二元一次方程与一次函数关系的一节课。本节课的内容是前面所学的二元一次方程、一次函数知识的升华和综合应用，是数形结合思想、模型思想及转化思想的完美体现，本节课所揭示的两个一次函数图象交点坐标的代数解法，为函数图像的交点坐标问题指明了方向，奠定了基础。从学生实际看 ，学生在前面已学习了一次函数的图像及性质，并探究了二元一次方程组的解法，在这些知识的学习中积累了探究的方法和活动经验，为本节课探究二元一次方程与一次函数的联系奠定了一定的基础，但是对于二元一次方程与一次函数中数形结合思想的领悟可能还存在一些困难，教学中要注意给学生充分的思考、分析、探究的时间和空间。在实践中，由于教师教学风格、个人倾向、在数形结合思想认识上的差异，以及学生水平的不同，不同教师最终呈现的课例也往往迥然不同。

二、两节课的宏观比较

教材的编写意图就是从“数”和“形”两个角度，体会二元一次方程（组）与一次函数的关系。经历观察、探索、分析、归纳一次函数与二元一次方程（组）关系的探究过程，能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组，进一步掌握数形结合的思想，发展几何直观。本节课的教学重点是探索一次函数与二元一次方程（组）的关系，能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组。教学难点是数形结合和数学转化思想的应用，能运用“数形结合”的思想解决问题。两位教师在教学目标与教学过程的呈现中各有特点。

( 一) 教学目标

教师甲：1）理解二元一次方程与一次函数的关系；会用图象法解二元一次方程组。2）经历二元一次方程与一次函数关系的探索过程，学会数形结合、转化的思想及方法。3）在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，并在解决问题的过程中，体验数学的应用价值，感悟数学的美。

教师乙：1）从“数”和“形”两个角度，体会二元一次方程（组）与一次函数的关系。2）经历观察、探索、分析、归纳一次函数与二元一次方程（组）关系的探究过程，能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组，进一步掌握数形结合的思想，发展几何直观。3）在自主探索中增强求知欲、树立探索和理解知识的自信心，在合作交流中优化对一次函数与二元一次方程（组）关系的思考，发展从数与形两个方面理解一次函数与二元一次方程（组）关系的思维素养。

从两位教师设定的教学目标看:不同之处在于，教师甲着重让学生理解、学会数形结合的思想，并会用数形结合的思想解决问题，把目标聚焦到解决问题的结果上，重在“会”; 教师乙从“数”和“形”两个角度，让学生体会二元一次方程（组）与一次函数的关系，重在“悟”，突显学习“数”与“形”结合思想的必要性，体验“数”与“形”结合思想之魅力，发展数学思维素养。

( 二) 教学主要环节设计

1.从情景诱导看：两位教师都以具体的数学问题作为导火索点燃学生的求知欲，但是两位教师的侧重点不同。教师甲注重知识的“表象”，先启发学生通过观察这个等式的特点，进而从“数”上找二元一次方程与一次函数的联系，由此引出新课。教师乙通过问题串环环相扣，步步逼近让学生亲身经历由方程式到函数式的转化过程，再由特殊到一般从“数”上归纳提炼二元一次方程与一次函数之间的关系。

2.从新知探究看：两位教师都分别以四个数学问题为脚手架由学生自主探究二元一次方程与一次函数的关系。两位教师设计问题的出发点不同。教师甲从一次函数出发，让学生感受二元一次方程和一次函数之间的相互转化，并引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系，在此基础上探究二元一次方程组与一次函数的关系。教师乙通过让学生找最熟悉、最简单的二元一方程的解开始，由方程的解到对应的点再到线，由数到形，再由形到数通过设置问题情景 ，让学生感受方程x+y=5和一次函数y=­-x+5相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系。类比这种探究方法探究了二元一次方程组与一次函数的关系。

3.从变式训练看：两位教师都是针对新课内容设计了不同类型的跟踪训练。教师甲通过“由理到题”，侧重学生对基础知识和新知的巩固。教师乙通过“由题到理”，并拾级而上与中考链接，注重对学生综合素质的提升。

三、两节课的微观比较

( 一) 数与形结合的适切性

在教学中，教师甲以两个学生的争议问题：“x+y= 5是二元一次方程还是一次函数？”引入，然后启发学生思考：这两者从形式上可以转化，那么他们之间是否有着必然的联系？激发学生带着疑问与期盼步入新知的学习，具有一定的趣味性。符合学生的认知规律，因此具有一定的科学性和可行性。紧接着，教师甲把知识问题化，问题探究化，通过分析探究、探究发现、深入探究得出 x+y=5与y=-x+5表示的关系相同，在学生的动手操作与教师的引导中揭示数形结合思想运用的意义。在课堂小结环节，有了前面的引导与铺垫，教师甲用思维导图把探究的结论进行系统归纳，有利于创新思维的培养。 教师乙在新知探究和运用环节用问题激发学生思考，在潜移默化中领悟 “数形结合” 的思想，前一个环节都为后续 “数形结合”思想的体会埋下了伏笔，符合有效性原则。教师乙通过发动学生瞪大眼睛看、竖起耳朵听、模仿老师画与写，激起了学生的学习兴趣，激发学生继续探索的动机，符合趣味性原则。教师乙在引导学生探索二元一次方程与一次函数之间的关系时，演示示范精细作图，用心观察，将探索真理过程的艰辛和他们不断追求真理、不断钻研、永不言弃的精神传递给学生，符合人文性原则。

(二) 数形结合的自然性与价值的深刻性

数形结合就是通过“以形助数”或“以数解形”，帮助我们复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。这种思想方法就是要自然而然地融入问题解决中而不是生硬灌输。如本案例中教师乙教学的四个活动中通过先解方程或方程组，再画对应的直线，完美从几何角度解释二元一次方程组有解、无解、无数组解的情况，让学生真真切切感受数形结合思想的伟大。探究新知的过程中教师乙 虽然花费的时间较多，但是通过探究过程，学生不仅掌握了二元一次方程与一次函数之间的对应关系，而且经历了从“数”到“形”，与从“形”到“数”以及从特殊到一般的研究数学问题的过程，进一步加深对数形结合思想的理解。 因此，教师乙的探究设计更能体现方法之美。同时，教师乙给予学生充足的探究时间，并充分搭建 “脚手架”，使学生对数形结合思想更具有方向性和目的性，同时也充分发展学生的观察能力、思维能力等，体现了探究的价值。 在练习巩固环节，教师乙把中考题稍作变式让学生进行训练，对此问题的解答必须要把“数”转化成“形”，用“形”解答“数”的问题，即在同一平面内画出两条直线y=kx+5与直线y=k'x+2(k＞0, k'＜0），就能很直观观察得出问题的答案。这就把数形结合思想的作用无限放大体现了知识之谐与方法之美。

四、教学启示

案例中教师甲与教师乙的两节课从教学设计和教学活动组织上都呈现出了个人的教学风格。尤其是教师乙把“数形结合”思想在教学中的运用处理的灵动有效，引导学生由初步感知数形结合思想方法到理解数形结合思想，再到应用数形结合思想方法再到总结回味强化数形结合思想，最后到拓展运用——升华数形结合思想方法。对学生的学习习惯的培养、数学素养的提升有着重要的作用。但通过对两节课的比较和分析，也给我们带来了一些思考。

( 一) 数学教学要读懂教材，实现真备课

一线教师有必要对教材进行认真研读，准确把握教材编排意图，方能在教学中有的放矢、应用自如。如本案例中的课例是北师版《5.6 二元一次方程与一次函数》内容，教材中的结论这样表述到“ 一般地，从图形的角度看，确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组就相当于确定相应两条直线的交点坐标．”这里有两个关键词“一般地”和“相应两直线”在这个结论中所起到的作用是很多老师都没有深刻体会到的。因为对于形如由方程y=2与2x+1=7组成的方程组也是二元一次方程组，但不是对应两个一次函数，y=2是常值函数，是一条平行于x轴的直线，故仍然可以由“数到形”，由形解数找这个方程组的解，所以结论的描述中用“相应两直线”比“相应两个一次函数图象”更准确。对学生的影响也更深刻。备课时，只有真正了解教材编排的意图，把握教材的重点、难点，熟悉和掌握教材的来龙去脉、编排顺序以及所处地位和作用 ，对教材不再盲从，而是用审视的眼光去看待，围绕所教知识设计出高效的教学程序，真正去思考，找到科学的教学方法，实现教材与孩子的沟通，真正落实基本数学活动经验的积累、数学思维的品质的提升、数学思想方法的渗透等，从而提升学生的数学素养。

（二）数学课堂要关注学生的需要，实现真课堂

真实的课堂就是要给学生留下方法与思考而不是冰冷的知识，数学课堂要把冰冷的美丽变成火热的思考。新时期数学教学的核心就是要注重培养学生思维的条理性与思维的广阔性。教育部党组书记、部长陈宝生发出“课堂革命”改革的号角，就是要回归常识、回归本分、回归初心、回归梦想，要坚持教为学服务，以学定教、以学评教、以学促教。要相信学生，解放学生，培养学生自主学习的能力。课堂上的指挥棒不能错，要聚焦到学生的学实现真课堂，否则学生普遍存在“虚假学习”和“浅表学习”的情况，从而产生大量的“学困生”。当学生的真实学习需求未能得到关注和回应的时候，就会陷入了“学困生”的死循环。教学中我们如何关注学生的需要呢？那就是在课堂上为了学习者有效地开展学习活动，从学习者的角度为其设计学习计划、活动和系统，为学生的学习提供一个活动脚本。教师要以高品质学习设计培育学生高阶思维，实现学生的深度学习，这也是提高课堂教学质量和学生数学素养的重要保障。

（三）数学课堂要与信息技术有机融合，实现真高效。

信息技术与数学的融合可以激发学生的学习兴趣，借助信息技术，搜集信息，充实学习内容在数学的课堂教学中，恰到好处地运用多媒体课件，能为学生提供逼真的教学情境、丰富的教学资源，为学生营造一个色彩缤纷、声像同步、动静结合的学习情境，使学生的多种感觉接受刺激，从而促进学生思维能力的发展。尤其是对于比较抽象的教学内容可以通过多媒体演示使其直观形象。相反，如果不合理使用多媒体不仅给学生增加学习负担，还大大降低了课堂效率。例如有数学老师把多媒体作为展示习题的工具，一节课多达几十张，为此，少了数学课堂上该有的板书，尤其是作图、推理、计算过程竟然都是在课件上一晃而过，一节课下来黑板上只有课题和几个知识点，少了知识生成的痕迹、少了示范书写。久而久之，学生的规范书写习惯、数学计算、归纳推理等素养都会降低。如本案例中的“数形结合思想”在方程与函数关系中的渗透，如何让学生从感性认识上升到理性认识的层面，就必须要通过教师与学生共同参与画图与观察、计算等数学活动，而不是从PPT课件上看一眼就能达到效果的。多媒体是教学的辅助工具，多媒体的应用要与黑板上的内容相互补充而不能互溶。通过多媒体的使用节省课堂上的每一分钟，同时要让每一分钟都有价值，实现真正的高效课堂。

总之，数学教学方法只有在教师不懈的实践中，才能让学生真正运用在数学学习中进行加深和升华。数准确，形直观，数形结合是一种可以解决数学问题的有效办法，特别是面对抽象的数学问题,数形结合能化抽象为具体,有效地辅助学生思考。让“数形结合思想”浸润在教学中，能充分调动学生的数学兴趣，让深奥变得通俗易懂。

编辑：王波

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