你没有数感与数学式思维，因此不能体会数学学习的快乐

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国外的研究人员，对一些被成绩好、成绩一般的与成绩差的7～13岁的学生进行研究：给这些学生一些关于数字的问题，例如计算两个数的和与差。他们发现了成绩好的学生与成绩差的学生的一个重要区别。

成绩好的学生在解决数字问题时采用了我们众所周知的数感——也就是理解数字的意义，并可以灵活使用数字。

成绩差的学生在解题过程中没有用到任何数感，他们觉得自己的任务就是回想以前学过的解题方法，然后套用到要解决的问题上，即使他们发现套用之前的方法不能很好地解决问题，也不会去思考别的方式。

例如，计算“122－55”，成绩好的学生会把这道题转化为“125－55，再-3”，而成绩差的学生则把直接用122-55直接减掉，这样做不但麻烦，而且还容易出错。

通过对学生解题策略的大量研究，研究人员发现成绩好与成绩差的学生的区别不是成绩差的学生掌握的数学知识少，而是因为他们同数学打交道的方式不同。

成绩差的学生从来都不考虑通过数感灵活运用数字，他们似乎总是在寻找学过的标准解题方法，然后生搬硬套，即使效果不好也不会采用其他方式。

事实上，他们掌握的数学知识并不少，只是不会灵活运用而已。

出现这种状况的原因，可能是他们很小的时候就被要求去记忆标准解题方法，而不是被鼓励使用数感来解决问题。

研究人员还指出了另一个重要的问题：成绩差的学生所运用的数学是一种费力不讨好的数学。但不幸的是，这些成绩差的学生经常被认为是数学学习困难户，所以教师和家长便给他们灌输更多的标准解题方法，这就更加强了他们对数学的错误观念：数学的成功需要记忆解题方法，而不是理解概念与意义构建。这些成绩差的学生从此便把数学的希望寄托于标准解题方法之上，最终导致他们一生都要非常艰难地与数学打交道。

拥有数学式思维的学生都是以积极向上的方式与态度面对数学知识，在学习数学的过程中，他们认为自己的角色就是理解与意义构建。

数感是深度理解数学的一种表现，也是数学式思维的一种体现，数感是大脑在思考数字与数量概念的过程中形成的。

探讨学生数感形成的过程非常有意义，数感不但是所有高阶数学的基础，而且因为数感与数学式思维同进同退，弄清培养其中一个的方法便可以达到两者兼顾的效果。

数学是一个概念性的领域。它不是很多人所想的一系列需要死记硬背的常识与方法的集合。在下图中，紫色的箭头代表方法，粉色的盒子代表概念。在图的左下角，我们可以看到方法“数数”。当学生们学习数数时，他们不但会记住数字的大小与名称，而且还会形成数字的概念——也就是数字的抽象概念。

当我们学习数学时，我们的大脑会进行一项称之为“压缩”的过程。当你学习一个新的数学知识时，在你思考这个新知识的工作原理以及它和你已知知识的关系的过程中，大脑的很大一部分空间会被占据。但你以前学过的数学以及其他内容，比如加法，只会占据你大脑的一小部分空间，而且你可以不用仔细思考就可以熟练的运用这些知识。因为我们的大脑是一个非常复杂忙碌的器官，所以对新知识的压缩才会发生，而且我们的大脑每次只能对很少的粗糙概念进行压缩。那些完成压缩的概念会被储存在大脑的一个很小的空间中。

研究人员是这样描述大脑的压缩过程的：

数学在人的大脑中有极强的可压缩性：当你学习一个新的数学概念时，你也许需要一点一点地弄懂它，也许需要从多个角度去理解它，你的思维也许会挣扎一阵子。一旦你真的弄懂了它，并且可以在你的头脑中形成一个完整的构建，那么压缩过程也就完成了。一旦压缩完成，你就可以把它存储在大脑的一个小空间中，在你需要时你可以快速完整地调用它。

数学的这个属性也正是学习数学最愉悦的事情之一。

很多学生不能体会数学学习快乐的重要原因之一就是他们没有经历大脑压缩这个过程。这里需要大家注意，大脑只能够压缩概念，不能压缩计算法则与方法。那些不进行概念思考、只死记硬背公式的学生无法经历大脑压缩这一关键过程，所以他们的大脑无法将知识有效地组织存储，结果导致他们只能依赖计算方法与公式。

这就是为什么要让学生在学习数学的过程中一定要理解概念。概念式的学习方式是数学式思维的本质。