多元思维模型2:费马帕斯卡系统——理解真实世界运转的方式

费马—帕斯卡系统与世界的运转方式惊人地一致,是基本的公理,你真的必须得拥有这种技巧。——查理·芒格

在知识、能力、努力、耐心这些所有的品质中,查理芒格最看重的是理性。查理芒格说:“你必须看到这个世界真实的样子,而不是你以为的样子、或者你希望的样子,只有这样你才能做出正确的选择。”费马帕斯卡系统就是认识真实世界的基本工具。

费马帕斯卡系统是现代概率论的基础,来自一个概率论中的经典问题——点数问题(Problem of points),也叫赌注分配。

达芬奇的数学老师,帕西奥利最早在他的教科书中提到这个问题:说是A和B两个人,筹码相同,玩一种公平的、概率为1/2(类似掷硬币)的游戏。两人约定某个人赢到第10次的时候,游戏结束,赌注全部归胜者。但是游戏如果没有结束,筹码怎么分才合理呢?比如A赢了7次、B赢了6次。应该怎么分?

早期的两种观点:

1、按赢的次数来分,比如7:6,A拿到7/13,B拿到6/13。

这种分法问题很大,如果A赢了一次,游戏就结束。那么赢的次数是1:0,A赢了一次就拿走全部赌注,那肯定不合适。

2、赌注的分配应该考虑到两人比分的差距和游戏的总盘数。

这个分法有进步,但是也有问题,比如4:1和9:6,比分差距一样,但是区别很大,因为前者变数还比较大,而后者结局已经很明朗了。

直观的感觉是,赢的次数多的理应分得更多,但是具体应该分多少呢?

后来,费马和帕斯卡通过书信的形式讨论解决了这个问题。事实上,已经完成的赌局盘数不重要,决定胜负概率的是后面应该继续进行的盘数上。总数10盘的(7:5)的局和总数20盘的(17:15),领先者的机会是一样的。所以应该关注的是,剩下需要去完成的盘数。

我们可以把问题简化为:A和B两个人,筹码相同,玩掷硬币游戏。先赢3次赢得全部赌注,假设现在A赢了2次,B赢了1次,赌注该怎么分?

费马的方法:结束赌局,最多还要2局,结果有四种可能,且概率相等。

A胜A胜

A胜B胜

B胜A胜

B胜B胜

所以,A、B获胜概率分别为3/4,1/4,分配方式应该是3:1。

帕斯卡的方法:

第一局A胜:A得到全部赌注。

第一局A输:两人平分赌注。

两种概率相同。

所以,A、B获胜概率分别为3/4,1/4,分配方式应该是3:1。

当然这是为了方便理解,举了最极端的例子。在通常情况下,帕斯卡给出了一个公式,计算一般情况下的分配方式。

r、s表示各还需要 r 局和 s 局就能赢得最后赌注,那么赌局还需要进行 r s - 1 局就能得出胜负。

公式看不明白也没事,只需要知道这是人类真正拥有了期望这个概念,这就是概率的起点,概率是决策、风险理论的基础工具。

除了这个公式,还有一个更方便的“帕斯卡三角”,这个三角形的“塔尖”是一个1,这一行称为“0”行。下面依次是1、2、3、4、5、6...行。每一行的左右两边数字都是1,每行里的数字是它上面两个数字之和。

我们回到费马和帕斯卡那个抛硬币的赌局里,2:1。最多需要2局结束战斗,所以我们来看第二行。

1 2 1

A赢了2次,再赢1次就赢得整个赌局。那么第一个数字就代表了B赢的概率。

同样地:

B赢了1次,再赢2次就赢得整个赌局。那么后面两个数字就代表了A赢的概率。

所以A:B=2 1:1=3:1

再来一个难一点的:先赢10次获胜,A、B分别赢了8次和7次,各还需2次、3次获胜,应该怎么分配?

还需要(r s-1=2 3-1)4局就能得出胜负,所以看第四行。

1 4 16 4 1

A再赢2次就赢得整个赌局,那么前面2个数字代表了B赢的概率。

B再赢3次就赢得整个赌局,那么后面3个数字代表了A赢的概率。

所以分配方式 A:B = (6 4 1):(4 1)=11:5

可以看出,帕斯卡的方式方便很多,如果每次按照费马的方式列出所有可能的情况,还是比较困难,而且容易出错。

虽然方式不一样,但是帕斯卡与费马都给出了正确解答。虽然他们在解答中没有明确定义概念,但是,他们定义了使某赌徒取胜的可能性,也就是赢得情况数与所有可能情况数的比,这实际上就是概率。所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的,他们一起为现代概率理论和决策论奠定了基础。

概率是决策、风险理论的基础工具,但是人们不能自然、自动的做到这一点。

如果你们懂得基本的心理学原理,就能理解人们做不到这一点的原因。其实很简单:大脑的神经系统是经过长期的基因和文化进化而来的,它并不是费马—帕斯卡系统,它使用的是非常粗略而便捷的估算,里面有一点费马—帕斯卡系统的元素,但是不精准。—— 查理.芒格

有一个人的经历就可以证明这一点,在费马和帕斯卡同时期有一个好赌又好学的人。他自己也研究概率,有一次他就想,扔4次骰子至少出现1次“6”的概率是多少呢?他想每一次是1/6,四次就是4/6(2/3),远大于50%,果然用这个方法赢了不少钱。后来,他又研究连续2个骰子24次出现两个“6”的概率是多少呢?他想每一次出现两个6的概率是1/36,24次就是24/36,还是2/3,所以又去买,这次输惨了。

后来遇到帕斯卡,他才知道怎么输的,他的计算方式根本就是错的。

连续扔4次骰子至少出现1次“6”的概率:

P = 1 -(5/6)^4 ≈ 51.8%

连续扔24次骰子至少出现1次“12”的概率:

P = 1 -(35/36)^24 ≈ 49.1%

事实上,想要赢至少得连续扔25次骰子:

P = 1 -(35/36)^25 ≈ 50.6%

至此以后,“不可知”变成了“不确定”,“不可知”意味着对未来毫无办法,“不确定”意味着我们可以知道概率从而进行预测,这两者的差异可以说是天差地别。感觉概率在50%左右,和知道概率是50.1%,这两者的差异同样是天差地别。

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