【数学】考点丨等比数列判定方法！
一、定义法
根据等比数列的定义，判断
或
是一个与
无关的常数．
例1 如果
是等差数列，则数列
（
为常数，且
）一定是等比数列；如果
是等比数列，且
，则数列
（
为常数，
，且
）一定是等差数列，你能证明吗？
证明：若
为等差数列，则有
，并且
（
为常数），
（常数），
故数列
为等比数列．
同理，
为等比数列，且
时，
，
（常数），
，
数列
是公差为
的等差数列．
二、等比中项法
对于各项均不为零的数列
，若对于任意大于1的正整数
都有
，则可判定数列
为等比数列．
例2 已知
，其中
依次成等差数列，且公差不为零，判断
是否成等比数列？
解：设等差数列
的公差为
，则
，
，
，
代入
，
可得
．
，
．
又
，故
成等比数列．
三、通项公式法
为等比数列
．
例3 已知
是各项均为正数的等差数列，
，
，
成等差数列，又
，
．判断
是否为等比数列？
解：
成等差数列，
，即
．
又设等差数列
的公差为
，
则
，即
．
当
时，
是一个各项均为正数的常数列，
是等比数列；当
时，
，
，
．
故
是首项为
，公比为
的等比数列．
四、递推公式法
例4 根据如图所示的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式．问：这个数列是等比数列吗？
分析：先求出前5项值，然后通过递推性质确定其通项公式．
解：若将打印出来的数依次记为
（即
），
，
，
．
由图可知，
，
，
，
．
于是可得递推公式
由于
，因此这个数列是等比数列，
其通项公式是
．
五、前
项和公式法
在数列
中，前
项和为
，若
，则
为等比数列．
例5 已知数列
的前
项和为
（
是不为0的实数），则
（ ）
Ａ．一定是等比数列
Ｂ．一定是等差数列
Ｃ．是等差数列或是等比数列
Ｄ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
解：当
时，
的各项都为0，这个数列是等差数列，但不是等比数列；当
时，由
知，
是等比数列，但不是等差数列，故先Ｃ．
六、反例法
若判断一个数列不是等比数列，则反例法显得更简单．
例6 设
，
是公比不相等的两个等比数列，
，证明数列
不是等比数列．
解：设
，
的公比分别为
．
为证
不是等比数列只需证
．
事实上，
，
．
由于
，
，又
不为零，因此
，故
不是等比数列．
注意：有些试题常常需要由一个特别说明一个命题是错误的，但应当注意一个特例不能说明命题是正确的．