【八下数学】平行四边形的例题解析
1.平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，满足一组对边平行，另外一组对边不平行的四边形叫梯形。平行四边形的基本概念，也是判定四边形为平行四边形的一种方法。
2.平行四边形的性质
平行四边形的性质可以从边、角、对角线、对称性四个方面来进行讨论。
（1）从边上看，平行四边形的对边平行且相等，邻边之和的两倍等于平行四边形的周长；
（2）从角看，平行四边形的对角相等，邻角互补；
（3）从对角线上看，平行四边形的对角线互相平分（注意：只满足互相平分，不满足相等、垂直等）；
（4）从对称性看，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形。
3.平行四边形的判定
平行四边形的判定从边、角、对角线三方面看，但是课本中所给的判定定理是从边和对角线两方面进行阐述。
（1）从边上看，首先由其概念可得，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，其次，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）从对角线上看，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（3）从角上看，对角相等的四边形是平行四边形。
（1）利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长等
例题1：如图，E、F在ABCD的对角线AC上，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=54°，求∠ADE的度数
分析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此可以得到DE=AE=EF=CD，多条线段相等，可设最小的角为x，即设∠EAD=∠ADE=x，根据外角等于不相邻的内角和，得到∠DEC=∠DCE=2x，由平行四边形的性质得出∠DCE=∠BCD-∠BCA=54°-x，得出方程，解方程即可。
例题2：如图，已知四边形ABCD和四边形ADEF均为平行四边形，点B，C，F，E在同一直线上，AF交CD于O，若BC=10，AO=FO，求CE的长。
分析：根据平行四边形的性质得出AD=BC=EF，AD∥BE，从而得到∠DAO=∠CFO，再加上对顶角相等，可以得到△AOD≌△FOC，根据全等三角形的性质得到AD=CF，即AD=BC=EF=CF，从而得到线段CE的长度。也可以借助中位线定理解决。
解：∵四边形ABCD和四边形ADEF均为平行四边形，
∴AD=BC，AD=FE，AD∥BE，AF∥DE，
∴AD=BC=FE=10，
∵AF∥DE，AO=FO，
∴CF=FE=10，
∴CE=10+10=20
（2）求线段（边或对角线）的取值范围
例题3：在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，对角线AC、BD相交于点O，则OA的取值范围是多少？
分析：由AB=4，BC=6，利用三角形的三边关系，即可求得2＜AC＜10，根据平行四边形的对角线互相平分，得到OA的取值范围，为1＜OA＜5.
（3）利用平行四边形的性质证明角相等、边相等和直线平行
例题4：如图，已知E，F分别是ABCD的边CD，AB上的点，且DE=BF．求证：AE∥CF．
分析：由四边形ABCD为平行四边形可得：AB=CD，AB∥CD。由已知条件DE=BF，根据等边减等边可得AF=CE，由此可证明四边形AECF为平行四边形，从而得到AE∥CF。通过此题可知，平行四边形又为我们证明直线平行增加了一种方法。
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD
又∵DE=BF，∴AB-BF=CD-DE，即AF=CE
∴四边形AECF为平行四边形，∴AE∥CF
例题5：如图，在ABCD中，点E是BC上的一点，连接DE，在DE上取一点F使得∠AFE=∠ADC．若DE=AD，求证：DF=CE．
分析：根据平行四边形的性质得到∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，根据题意得到∠AFD=∠C，根据全等三角形的判定和性质定理证明即可
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠ADC，
∴∠AFD=∠C，
又∵AD＝DE，∴△AFD≌△DCE（AAS），∴DF=CE．
（4）利用判定定理证明四边形为平行四边形
例题6：如图，在ABCD中，点E、F在BD上，且BE=AB，DF=CD．求证：四边形AECF是平行四边形．
分析：根据平行四边形的性质可得AB=CD，再加上BE=AB，DF=CD，可以得到BE=DF。平行四边形的对角线互相平分，连接AC交BD于点0，得到OA=OC，OB=OD，等线段减等线段得到OE=OF，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可证明到结论。
证明：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∵BE=AB，DF=CD，
∴BE=DF，∴BO-BE=OD-DF，即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
例题7：如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．求证：四边形CMAN是平行四边形
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AM∥CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CM∥AN
∴四边形CMAN是平行四边形
（1）平行四边形的对角线是互相平分，不相等，也不垂直，也不会平分一组对角；
（2）当满足一组对边平行且相等时，可证明四边形为平行四边形，当一组对边平行，另外一组对边相等，不能证明该四边形是平行四边形，该四边形可能为梯形；
（3）平行四边形对角相等，邻角互补，对角不一定互补；
（4）平行四边形的邻边没有什么特殊的性质，邻边之和的两倍等于该平行四边形的周长。
证明平行四边形的方法较多，因此在证明一个四边形是平行四边形时选对方法很重要，同一道题目选择不同的方法，证明的难易程度、繁琐程度会相差很大
来源 成才路上