中考数学压轴题分析：相似三角形的存在性问题4

相似三角形的存在性问题是中考中比较常见的类型，整体难度中上。本文内容选自2020年鄂州中考数学压轴题，涉及相似三角形的存在性问题，其中一个三角形的形状固定，另外一个三角形有2个动点。难度不大。

【中考真题】

（2020·鄂州）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点．直线经过、两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上的一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及轴分别交于点、．，垂足为．设．
①点在抛物线上运动，若、、三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的的值；
②当点在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点，使与相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】 

题（1）先求出点，坐标，再代入抛物线解析式中即可。
题（2）①先设未知数表示出点，，坐标，再分三种情况利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论。
题（2）②是相似三角形的存在性问题。由于两个三角形都是直角三角形，因此只有两种情况进行讨论即可。先设未知数表示点坐标，进而表示出线段长，利用边长比例即可得到点的坐标。
【答案】解：（1）针对于直线，
令，则，
，
令，则，
，
，
将点，坐标代入抛物线中，得，
，
抛物线的解析式为；

（2）①轴，，
，，
、、三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，
Ⅰ、当点是的中点时，，
或（此时点，，三点重合，舍去），
Ⅱ、当点是的中点时，，
或（此时点，，三点重合，舍去），
Ⅲ、当点是的中点时，，
或（此时点，，三点重合，舍去），
即满足条件的的值为或1或；

②由（1）知，抛物线的解析式为，
令，则，
或，
点，
，
，，
，，
，
，
，
，，
与相似，
Ⅰ、当，
，
，
，
点的纵坐标为，
，
（舍或，
；
Ⅱ、当时，
，
，
，
，
，
，
由①知，，，
，
，
或（舍，
，，
即满足条件的点的坐标为或，．