高中数学:直线斜率公式的应用

1、比较大小

例1、若

,则( )

A.

B.

C.

D.

解:因为

,表示函数

的图象上的点(x,y)与坐标原点O连线的斜率,如图1,则

图1

由图象可知:

,选C。

也可以考察函数

的单调性,即利用它的导数来严格求解,但对于选择题、填空题,用数形结合的思想将问题转化为过曲线

上的点与原点的直线的斜率。

2、求最大值或最小值

例2、设实数x,y满足

,则

的最大值是___________。

解:如图2,实数x,y满足的区域为图中阴影部分(包括边界),而

表示点(x,y)与原点连线的斜率,则直线AO的斜率最大,其中A点坐标为

,此时

,所以

的最大值是

图2

本题还可以设

,则

,斜率k的最大值即为

的最大值,但求解颇费周折。

例3、当

时,函数

的最小值是( )

A.2

B.

C.4

D.

解:原式化简为

,则y看作点A(0,5)与点

的连线的斜率。

图3

因为点B的轨迹是

过A作直线

,代入上式,由相切(△=0)可求出

,由图象知k的最小值是4,故选C。

也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。

3、证明不等式

例4、已知

,且

,求证

分析:不等式的左边的结构与斜率公式

相似,

的几何意义为点

与点

的连线的斜率。

证明:如图4

图4

因为

,所以点

在第一象限且必在直线

的下方

因为

,所以点

在第三象限且在直线

连结OP、PM,则

因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角(均为锐角)

所以

4、求函数的值域

例5、求函数

的值域。

解:设

,则有

因为

,所以

如图5,则y可看作两点

图5

连线的斜率,而点P在半圆

上,过点Q与圆

有公共点的直线的方程为

,则

化简得:

解得:

(由图知舍去)

则函数

的值域为

5、解应用问题

例6、如图6,A、B、C、D四村在矩形ABCD的四个顶点处,

千米,BC=4千米,在四村之间要修如图所示的路,其中

。怎样修才能使总的路长最短?

图6

解:分别延长FE、EF与AB交于H,与DC交于G

(α为锐角),则

则道路总长

要求s的最小值,只需求

的最小值,即求点P(0,2)与点Q(

)所成直线的斜率的最小值。

因为Q点的轨迹为

如图7,由点P、Q所确定的直线方程为

图7

当直线与

相切时,

,即α=60°

本题通过设参数将问题转化为求直线的斜率的最小值的问题。

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