高中数学:直线斜率公式的应用
1、比较大小
例1、若
![](http://pic.ikafan.com/imgp/L3Byb3h5L2h0dHBzL2ltYWdlMTA5LjM2MGRvYy5jbi9Eb3dubG9hZEltZy8yMDIxLzA2LzAzMTgvMjIzNDQxNjc3XzFfMjAyMTA2MDMwNjE2MzY1OTk=.jpg)
,则( )
A.
![](http://pic.ikafan.com/imgp/L3Byb3h5L2h0dHBzL2ltYWdlMTA5LjM2MGRvYy5jbi9Eb3dubG9hZEltZy8yMDIxLzA2LzAzMTgvMjIzNDQxNjc3XzJfMjAyMTA2MDMwNjE2MzY4MDI=.jpg)
B.
![](http://pic.ikafan.com/imgp/L3Byb3h5L2h0dHBzL2ltYWdlMTA5LjM2MGRvYy5jbi9Eb3dubG9hZEltZy8yMDIxLzA2LzAzMTgvMjIzNDQxNjc3XzNfMjAyMTA2MDMwNjE2MzcyMA==.jpg)
C.
![](http://pic.ikafan.com/imgp/L3Byb3h5L2h0dHBzL2ltYWdlMTA5LjM2MGRvYy5jbi9Eb3dubG9hZEltZy8yMDIxLzA2LzAzMTgvMjIzNDQxNjc3XzRfMjAyMTA2MDMwNjE2MzcyNTU=.jpg)
D.
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解:因为
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,表示函数
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的图象上的点(x,y)与坐标原点O连线的斜率,如图1,则
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图1
由图象可知:
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即
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,选C。
也可以考察函数
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的单调性,即利用它的导数来严格求解,但对于选择题、填空题,用数形结合的思想将问题转化为过曲线
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上的点与原点的直线的斜率。
2、求最大值或最小值
例2、设实数x,y满足
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,则
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的最大值是___________。
解:如图2,实数x,y满足的区域为图中阴影部分(包括边界),而
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表示点(x,y)与原点连线的斜率,则直线AO的斜率最大,其中A点坐标为
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,此时
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,所以
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的最大值是
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。
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图2
本题还可以设
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,则
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,斜率k的最大值即为
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的最大值,但求解颇费周折。
例3、当
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时,函数
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的最小值是( )
A.2
B.
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C.4
D.
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解:原式化简为
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,则y看作点A(0,5)与点
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的连线的斜率。
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图3
因为点B的轨迹是
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即
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过A作直线
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,代入上式,由相切(△=0)可求出
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,由图象知k的最小值是4,故选C。
也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。
3、证明不等式
例4、已知
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,且
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,求证
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。
分析:不等式的左边的结构与斜率公式
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相似,
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的几何意义为点
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与点
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的连线的斜率。
证明:如图4
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图4
因为
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,所以点
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在第一象限且必在直线
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的下方
因为
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,所以点
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在第三象限且在直线
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上
连结OP、PM,则
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因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角(均为锐角)
所以
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即
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4、求函数的值域
例5、求函数
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的值域。
解:设
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,则有
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因为
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,所以
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故
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如图5,则y可看作两点
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图5
连线的斜率,而点P在半圆
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上,过点Q与圆
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有公共点的直线的方程为
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,则
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化简得:
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解得:
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或
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(由图知舍去)
则函数
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的值域为
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5、解应用问题
例6、如图6,A、B、C、D四村在矩形ABCD的四个顶点处,
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千米,BC=4千米,在四村之间要修如图所示的路,其中
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。怎样修才能使总的路长最短?
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图6
解:分别延长FE、EF与AB交于H,与DC交于G
设
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(α为锐角),则
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则道路总长
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要求s的最小值,只需求
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的最小值,即求点P(0,2)与点Q(
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)所成直线的斜率的最小值。
因为Q点的轨迹为
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如图7,由点P、Q所确定的直线方程为
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图7
当直线与
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相切时,
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,即α=60°
本题通过设参数将问题转化为求直线的斜率的最小值的问题。