高中数学:直线斜率公式的应用
1、比较大小
例1、若
,则( )
A.
B.
C.
D.
解:因为
,表示函数
的图象上的点(x,y)与坐标原点O连线的斜率,如图1,则
图1
由图象可知:
即
,选C。
也可以考察函数
的单调性,即利用它的导数来严格求解,但对于选择题、填空题,用数形结合的思想将问题转化为过曲线
上的点与原点的直线的斜率。
2、求最大值或最小值
例2、设实数x,y满足
,则
的最大值是___________。
解:如图2,实数x,y满足的区域为图中阴影部分(包括边界),而
表示点(x,y)与原点连线的斜率,则直线AO的斜率最大,其中A点坐标为
,此时
,所以
的最大值是
。
图2
本题还可以设
,则
,斜率k的最大值即为
的最大值,但求解颇费周折。
例3、当
时,函数
的最小值是( )
A.2
B.
C.4
D.
解:原式化简为
,则y看作点A(0,5)与点
的连线的斜率。
图3
因为点B的轨迹是
即
过A作直线
,代入上式,由相切(△=0)可求出
,由图象知k的最小值是4,故选C。
也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。
3、证明不等式
例4、已知
,且
,求证
。
分析:不等式的左边的结构与斜率公式
相似,
的几何意义为点
与点
的连线的斜率。
证明:如图4
图4
因为
,所以点
在第一象限且必在直线
的下方
因为
,所以点
在第三象限且在直线
上
连结OP、PM,则
因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角(均为锐角)
所以
即
4、求函数的值域
例5、求函数
的值域。
解:设
,则有
因为
,所以
故
如图5,则y可看作两点
图5
连线的斜率,而点P在半圆
上,过点Q与圆
有公共点的直线的方程为
,则
化简得:
解得:
或
(由图知舍去)
则函数
的值域为
5、解应用问题
例6、如图6,A、B、C、D四村在矩形ABCD的四个顶点处,
千米,BC=4千米,在四村之间要修如图所示的路,其中
。怎样修才能使总的路长最短?
图6
解:分别延长FE、EF与AB交于H,与DC交于G
设
(α为锐角),则
则道路总长
要求s的最小值,只需求
的最小值,即求点P(0,2)与点Q(
)所成直线的斜率的最小值。
因为Q点的轨迹为
如图7,由点P、Q所确定的直线方程为
图7
当直线与
相切时,
,即α=60°
本题通过设参数将问题转化为求直线的斜率的最小值的问题。