初中几何最值问题基本图形总结

在中考数学试卷中，几何最值问题始终是重难点内容，在中考数学试卷中通常出现在压轴题的位置。

以几何图形中的动点为背景，求线段或线段和差的最大值或最小值，动点最值以其抽象性、多变性让很多学生望而却步，但只要掌握其基本原理和模型，先借鉴和模仿，最后掌握其解题思路和方法，我们是完全可以将其正确解答的。

初中数学所有的几何动点最值问题其实都来自两个基本图形：

1.定点到定点：两点之间，线段最短

如图：点P为直线L上一动点，问P运动到何处，线段AP+BP和最小。

可以理解两点之间线段最短。连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点。三角形三边关系可以得出，始终围成三角形，AP+BP>AB，当A,P,B三个点共线时，AP+BP=AB取最小值。

2.定点到定线：点线之间，垂线段最短

我们都知道定理：垂线段最短（直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短）

A为直线l外点，P为直线l上一动点，那么A到直线l的距离最小值即为A做l的垂线，最小值为垂线段的长度.

在此基础上又产生了以下基本图形和结论：

1.三角形两边之和大于第三边；

2.平行线之间，垂线段最短；

由平行线一点向另一条线做无数个连线

垂线的平方 = 其他连线的平方 - 垂点与连接点线段的平方

根据直角三角形两短边平方和等于斜边平方得知平行线间垂线段最短

3.点圆最值：

如图，点A为⊙O外一点，点B在圆上，当点B位于何处时AB可以取最大值或最小。

（1）当O，B，A三个点共线，且点B位于OA之间时，AB最小；

证明：如图，根据三角形的三边关系：OB+AB≥OA，当且仅当O，B，A三个点共线时，OB+AB＝OA．

即当O，B，A三个点共线时，OB+AB取最小值为AO．因为OB为半径长度不变，所以此时AB取最小值．

  （2）当O，B，A三点共线，且点O位于AB之间时，AB最大．

证明：如图，根据三角形的三边关系：OB+OA≥AB，当且仅当B，O，A三个点共线时，OB+OA＝AB．

即当B，O，A三个点共线时，AB取最大值为OB＋OA＝AB′．

4、线圆最值：

如图，AB为圆O的一条定弦，点C为圆上一动点．

(1)如图①，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大；

(2)如图②，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大.

（3）如图，O与直线l相离，点P是圆O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d， O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是d-r，

点P到直线l的最大距离是d+r．

解决几何最值问题的主要方法是转化，通过变化过程中不变特征的分析，利用几何变换、图形性质等手段把所求量进行转化，构造出符合几何最值问题理论依据的基本结构进而解决问题。

在几何问题中，掌握最值问题的基本原理之后，在解决具体的题目时首先就要去分析和判断是属于哪种最值，关键点在于去分析几何图形的特征，结合其性质进行分析和判断。

如果题目中已经给出了动点的运动轨迹，在分析和分析和解答起来会相对比较容易些，但如果题目中并未直接给出动点轨迹，这时就需要我们去分析和寻找动点的运动轨迹，确定轨迹之后，再根据轨迹确定属于哪种最值问题，再进行分析和计算。

对于几何动点问题的学习，要多注意总结和归纳，一般来说，动点的运动轨迹无外乎在直线上和圆弧上两种，每种都有其特征和固有的模型，像直线型中最常用的是将军饮马模型，圆弧上的定角定弦、定点定距离、定直角等等。

对于这些基本的最值模型的特征和解题思路和方法，在平时的学习中要多去总结，理解和熟悉每种模型的特征、适用条件和方法，平时多练习、总结和思考。

在之后会详细分析和讲解到各种最值模型的特征、适用条件和方法。