厕所里的飞刀方程式 — 日本数学界的奇葩研究
上厕所看书会记得特别牢，甚至能借出高难度数学题？
数学史上就有一道“奇葩的”难题，是历代数学家们在厕所里解决的。
厕所冥想
1917年，为了给日本武士增添生活趣味，数学家挂谷宗一（Kaichiba Soichi Kakeya）提出了有味道的“挂谷问题”。
某天，一位武士在上厕所时遭到敌人袭击，矢石如雨，为了挡住射击，需要将刀旋转一周360°（支点可以变化）。但厕所很小，应当使刀扫过的面积尽可能小。面积可以小到多少？
虽然不少人觉得这个问题很无厘头，但在专业的数学家看来，再无厘头的问题，换成数学语言后，都会变成一道有趣的题目。
长度为1的线段在平面上做刚体移动（转动和平移），转过360度并回到原位置，扫过的最小面积是多少？
并且只需考虑旋转180°的情况，因为360°只是180°的重复相加。
长度为1的线段可在点集中转过180°，这样的点集被称为挂谷集。
历代著名数学家纷纷加入了厕所挥刀的浪潮，为了让日本武士可以愉快的上厕所，他们使出了浑身解数。
一刀泯恩仇
首当其冲是某数学爱好者的自转刀法，顾名思义，就是将刀绕中心自转一周。
毫无灵魂的瓜皮旋转，看起来没有什么技术含量。这种战斗力只有5的渣渣操作，就好像铁头娃在你面前耍了一套愣头刀法。
但不管怎么说，这毕竟是挥出了挂谷问题的第一刀。
不久，德国工程师Franz Reuleaux发现的鲁洛克斯三角形引起了数学家们的广泛关注。
因为在鲁洛克斯三角形里面，竟然隐藏着一套有规律的神秘刀法。
细心观察，你会发现线段固定一个端点旋转60°后，会固定另一个端点旋转60°。而更神奇的是，这刀法挥出的形状竟然还有点像粽子。
一时间，鲁洛克斯刀法名声大噪，传遍了整个数学界。
但强中更有强中手，挂谷宗一的同事Matsubara Fujiwara和Tadahiko Kubota，一语道破鲁洛克斯刀法的弊端。
紧接着，他们在鲁洛克斯三角形的基础上调整优化，提出了撼动厕所的正三角形刀法。
这是第一次成功融入平移的刀法！
更令人震惊的是，普通的正三角形竟能以18%的显著压缩，技压鲁洛克斯刀法。
“这就是极限了吗？”尽管正三角形刀法技高一筹，但数学家们还是提出了质疑。其中，就包括问题提出者挂谷宗一。
他认为，面对极限面积这样复杂的数学难题，只有通过形象直观的图解法，才能发现其背后隐藏的规律。
按照图解思路，他将正三角形放在鲁洛克斯三角形里进行分析。
果然，这一关键的图解对比，使挂谷宗一有了惊人的发现：三角形的边在向内收敛。
灵感就在一瞬间，他突然想到了三尖瓣线（Steiner曲线）。
没有半刻犹豫，他反手就拿起刀，在空中划出那一道性感的弧线。
区别于正三角形刀法的先旋转后平移，Steiner刀法更加注重整体平衡，使得线段的平移和旋转可以同时进行。
而更令人震撼的是，用Steiner刀法扫过的面积竟然再次被缩小，只有π/8≈0.392......
所以，在接下来很长的一段时间里，包括挂谷宗一本人，几乎所有数学家都认为这就是最小面积，是挂谷问题的最终解。
Besicovitch飞刀
然而，到了1928年。就在所有人都以为挂谷问题已尘埃落定的时候，前苏联数学家贝西科维奇（Besicovitch），一个风一样的男人出现了。
虽然Besicovitch从来没有看过小李飞刀，但却深深明白“天下武功唯快不破”的硬道理。
他并不满足于在前人智慧上原地踏步的Steiner刀法，他认为真正的至高境界是任意小。
为了突破常见形状，他摒弃了原有的思考方向，采用了新的旋转+平移方法。
举个栗子，如果要将下图右上方的线段移到左下方，其基本思路就是沿着箭头方向滑移——旋转——滑移。
“乍眼一看，虽然刀法平平无奇。但你要明白，简单的招式练到极致就是绝招。”Besicovitch一直是这样坚信着。
由于线条没有宽度，因此无论线条沿线条方向走多远，面积均为零。所以，只要通过增加线条、缩小旋转角度，就可以让线段扫过的面积变的无限小。
鬼畜般的飞刀，眼花缭乱的旋转跳跃，让人摸不着头脑。
但当看完下面的数学公式和极限的思维，数学家才知道每一次鬼畜都被Besicovitch安排的明明白白。
任意小面积的提出固然是吊打所有刀法，但正所谓物极必反，其占据空间范围却是前所未有的大，人们不得不开始担心厕所爆炸的问题。
关于这个问题，历史里并没有记载Besicovitch的回答，但你要相信“只要刀挥得够快，厕所就炸不到你”。
虽然Besicovitch的答案并不完美，但其出乎意料的结论却成为了挂谷问题的亮眼标签。
它是叱咤一时的江湖传奇，也是难以超越的时代经典。
然而，任何东西都不可能得到所有人的认可。
面对神话般存在的Besicovitch刀法，有人持否定的态度：除了炸飞厕所之外，还有什么鸟用？
本文转载自公众号“超级数学建模”