我们怎么解方程之一——原来解方程不是这么简单

想要了解数学发展史的同学们，其实不用去翻那些厚达上千页的辞典一般的正经数学史，看些轻松的材料同样会有很好的效果。比如我们可以从一些问题的诞生，论战，最后解决的线路入手，有些问题就像一只会下金蛋的鸡一样宝贵。了解了这些问题的历史，其实就了解了相当多的数学发展史了，比如费马大定理，素数的的研究历程就是一部精彩绝伦的数学史诗。当然了，今天要说的解方程的故事同样波澜壮阔，让人印象深刻。

《九章算术》——最早出现“方程”一词

方程，就是含有未知数的等式。“方程”一词可不是舶来品，“方程”一词最早出现在《九章算术》中，且基本与今天的方程同义。大家最先学习的就是一元一次方程，今天的人们很难想象，创造性地发明这个词的是康熙皇帝。“元”是未知数，“次”是最高项的阶数，简洁易懂，让人容易接受。康熙是不是中国历史最优秀的皇帝另当别论，但绝对是数学最好的皇帝。

人们对于方程最大的兴趣就是解出这个未知量x,对于一元二次方程的公式解，大概从方程研究刚刚开始的时候就已经有了圆满的解决。

16世纪的韦达发现了根与系数的关系，建立的韦达定理也深深折磨着中学时代的小朋友们。

数学家韦达

二次以下方程的解基本上没有任何阻力就被发现了，但是到了三次方程之后，数学界却一直挣扎了很久才有了满意的答案，16世纪，塔塔利亚，卡尔丹诺，费拉里在宫斗剧一般的竞争里逐步完善了三次，四次方程的公式解法。塔塔利亚用到的方法是用代换将三次降阶成二次，这样就可以用已经有过的公式法来解了，这种降阶的方法在四次方程的解法上同样有效。我在中学时代也曾特别想研究出三次方程的根式解法，那个时候的小县城网络太不发达，也没有什么外来的资料。然而闭门造车，苦苦探索一个月之后，还是宣告失败。

值得一提的是，正是对于二次，三次方程的研究，让人们开辟了i这个虚数单位，将人类所认识的数扩展到复数域。

三次方程根式解法发现者之一——塔塔利亚

三次，四次方程根式解法有着落了，自然而然地人们就开始期待一般五次方程的根式解了。然而这条路就比前面的解法探寻之路要艰难的多，第一个做出成果的拉格朗日，这位大神的名字对于很多人来说几乎都是惊悚的。

拉格朗日系统地总结了前人关于三次，四次方程根式解的研究成果。他发现了，三次方程下总是对应着特定的辅助方程，这个方程只有二次，四次方程下就对应着一个三次的辅助方程。拉格朗日把辅助方程的解称作原方程根的预解函数。很明显对于求解某个方程来说，能够得到预解函数至关重要，只要有了预解函数就可以把原来的方程层层降次，最终得到了一个显而易见求出解的简单方程。

拉格朗日

拉格朗日准备大干特干，将这套辅助方程的理论放在五次方程的根式求解上，然而他失败了。用预解函数的理论来攻克五次方程时，居然得到了一个六次的辅助方程，根本就不是预料中的四次，于是之前那套可以层层降次的法子不管用了，原来解方程不是这么简单。后来拉格朗日对五次方程做了大量的研究，最终也没有找到五次方程的根式解。然而拉格朗日仍然固执地认为，五次方程根式解是存在的，只是找到它需要用更加高深的技巧，自己能力尚且达不到。他却并没有从另外一个角度来考虑，其实五次方程时没有根式解的答案上来。

到了拉格朗日这里，其实对于五次方程根式解的研究仍然处在朦胧的探索当中，人们当时仍然被两大问题困扰：

第一，任意n次方程是否都有至少一个解？第二，n次方程如果有解，那么到底有多少个解？

这个时候，高斯大神开始出手，他在1799年，1800年解决了这两个问题。人们意识到，任意n次方程都会存在n个解，当时复数根的思想已经确立，因此不存在判别式的问题。然而高斯自己同样没有得到五次方程的根式解，这个时候高斯已经在考虑是否五次方程根式解压根就不存在，然而，高斯本人却乐观认为要证明这个结论似乎并不是那么困难。

高斯大神

高斯似乎给了五次方程根式解的研究指明了方向。然而最先沿着这个方向取得重要成就的却是一位非常有毅力的“民科”——意大利内科大夫鲁菲尼。

摩德纳大学——鲁菲尼曾任该大学校长

1800年，鲁菲尼大夫写出了一篇长达500页的论文，论文中第一次系统阐述了，五次及以上方程没有根式解的观点。面对这篇冗长的“民科杰作”，正统的数学家也懒得去检查，他们根本不相信这个业余数学爱好者能够解决困扰他们几十年的重大问题。于是稿子是寄出去了，当然是杳无音信。

柯西

鲁菲尼并没有气馁，他将论文又寄给了拉格朗日，这位研究五次方程解法的先驱，然而，拉格朗日却难以做到像他老师欧拉一样对待资历低的数学家的态度，于是又是石沉大海。鲁菲尼锲而不舍，1813年，他将自己的论文精简了许多，终于去掉了之前繁杂难懂的部分，再次寄给英国皇家学会，终于柯西回了一封信给他，也充分肯定了他的研究成果。然而，还没等到柯西把鲁大夫的成果介绍给数学界，柯老师却去世了，至此，鲁大夫的成果终于彻底湮没在学术圈里。直到多年以后，人们才发现鲁大夫那些很有价值的论文，从他的论文里，人们也才意识到，是鲁菲尼第一次把五次方程不存在根式解的研究带上正途。

其实根据现在能够找到的一些关于鲁大夫的资料得知，他是一个拥有伟大人格的人。事实上，以他在数学方面的造诣，在当时的大学里找个数学教授的职位绰绰有余，真实的历史上，也的确有很多大学邀请他去做数学教授，然而他却都拒绝了。他是医生出身，深知医生的天职是什么，他不愿意放弃他的病人。也正是由于这么一个神圣的选择，他从来都没有进入过学术圈，因此他也就很少在那些职业数学家圈子里有名气，这个数学界的圈子也很小。大学的数学研究所收到一位根本不知名作者的一篇长篇大论，基本上也就通通当成“民科”处理了。

研究对称性最有利的工具——群论

至此离问题的最终解决好像就差临门一脚了，谁都不会想到关于方程根式解存在性的彻底解决是由两个二十多岁的年轻人完成了，更加不会想到，这两个年轻人开辟了现代数学最伟大的一个分支之一——群论。