有了高斯，数学就是不一样

来自公众号：数学职业家
在全世界广为流传的一则故事说，高斯10岁时算出布特纳给学生们出的将1到100的所有证书加起来的算术题，布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：
81297+81495+81693+...+100899。
说完高斯也算完并把写有答案的小石板交了上去，当时只有他写的答案是正确的。
数学史家们倾向于认为，高斯当时已掌握了等差数列求和的方法。一位年仅10岁的孩子，能独立发现这一数学方法实属很不平常。
16岁导出了二项式定理的一般形式，将其成功的运用在无穷级数，并发展了数学分析的理论。
18岁时高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。
19岁时，仅用没有刻度的尺子与圆规便构造出了正17边形（阿基米德与牛顿均未画出）。
19世纪30年代，高斯发明了磁强计。
1833年从他的天文台向物理学家韦伯的实验室成功发送了世界上第一封电报。
1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。
而正十七边形是高斯视为平生最得意之作，还交代要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上正十七边形，而是十七角形，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。
当高斯还在德国哥廷根大学时候，吃完晚饭开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。
前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。
他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。
困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。
当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了最后一道难题。
见到导师时，高斯有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”
导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”高斯有些疑惑地看着导师，回答道：“是我做的。但是，我花了整整一个通宵。”
导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。
高斯很快做出了一上正17边形。
导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！”
原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。
每当高斯回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。”
献上画正十七边形的步骤，与您共赏！
尺规作法：
步骤一：
　　给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，
　　作C点使OC＝1/4OB，
　　作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，
　　作AO延长线上E点使得∠DCE＝45˚。
步骤二：
　　作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，
　　再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。
步骤三：
　　过G4作OA垂直线交圆O于P4，
　　过G6作OA垂直线交圆O于P6，
　　则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六定点。
　　以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
正十七边形的证明方法：
正十七边形的尺规作图存在之证明:
设正17边形中心角为a,则17a=360˚,即16a=360˚-a
故sin16a=-sina, sin16a=2sin8acos8a=22sin4acos4acos8a=24sinacosacos2acos4acos8a
因sina不等于0,两边除之有:
16cosacos2acos4acos8a=-1
又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有
2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1
注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令
x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
有:
x+y=-1/2
又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)
=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)
经计算知 xy=-1
又有
x=(-1+√17)/4,y=(-1-√17)/4
其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=(-1+√17)/4
y1+y2=(-1-√17)/4
最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2
可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出
德国数学之王高斯的多边形尺规作图法在生活中帮我们解决了许多问题，他的数学一直引领国内数学课外教育的发展潮流和方向。
有了数学，就是不一样
事事皆数学建模，数学思维的本质就是建模，把日常生活中遇到的问题，翻译为数学问题，并用数学方法推导出决策模型，然后把数学模型还原为日常生活的解决方法。小至每天上下班走哪条路，大至制定年度规划考虑投入产出，都是数学建模。
真正的数学并不在书本上，而在我们的生活中。
今天，数学依然在蓬勃发展，显示出自己旺盛的生命力。
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数学是美的，任意一门学问发展到极致或者运用在生活上，都会产生自己独特的美感。
正是因为有了以高斯为代表的这些数学家们，才使得物理、化学、机械、地理、生物、信息等一切和我们息息相关的技术在过去数百年间得以毫无障碍的发展，引发了工业和信息的革命，诞生出这个五光十色的现代社会。
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