数学新视野：让我们从全新的角度重新构建二次方程的根

当我在学校时，我学习了二次公式。我被告知这是找到二次函数根的最有效、更可靠的方法。

给出一个标准形式的函数ax+bx+ c，它的根可以通过求值来得到:

我被要求记住这个，我做到了。几十年后，当我接受培训成为一名高中数学老师时，这句话几乎像所谓的勾股定理一样，立刻回到了我的脑海。

问题是，我知道二次公式，但我不确定它为什么有用。这是一种被植入我的记忆细胞的东西，

首先，让我们回过头来思考一下二次函数的两个根。

可以说二次函数图上最重要的点，甚至比根更重要的点，是顶点。每一个二次函数都有相同的抛物线的基本形状，但只有一个顶点:

通常将该顶点的坐标称为(h, k)，其中h代表x坐标，k代表y坐标(因为“h”是“horizontal”的第一个字母，“k”是“kvertical”的第一个字母)。

我们可以观察到抛物线的两个分支是对称的:给定任意的y值，抛物线的两个点可以被一条中点在x = h上的线段连接起来。

这意味着，不管根是什么，它们到h的距离是相等的，我们称这个距离为d，所以根是h±d。

d的精确公式有点挑战性，但我们可以做更多的观察。因为这是一个二次方程，所以我们可以假设d包含一个平方根。因为a与抛物线的形状（或坡度）有关，因此假设d除以该抛物线的陡峭程度是合理的。因为根与顶点在轴上或轴下的距离有关，所以我们有理由假设d与k有直接关系。

因此假设d涉及除以该陡峭程度是合理的

有一个小问题。例如，在上图中，k是负的，而a是正的。一个负数除以一个正数得到一个负数，它没有实数的平方根。

同样地，如果a是负的，只有当顶点在x轴上，即k是正的，我们才有两个实根。所以我们需要通过取商的反比来解释这个。

根据我们的基本观察，满足所有条件的d的最简单公式是:

这个公式完全是由对抛物线图形的观察得出的。这个解释不是一个证明，但这至少是一个合理的可能性。如果这个成立了，那么二次方程就是这样的

这是可以证明的。我稍后会给出证明，但这确实是求二次方程根的公式，如果我们知道顶点和拉伸因子

优点：:这比传统的二次公式要简单得多。它是由二次函数的概念引起的。

缺点:这需要顶点，这在标准形式中不是很明显，而标准形式是我们所说的二次方程的默认形式

从标准形式中找到顶点需要两个步骤，其中一个看起来很熟悉，已知二次公式。

二次函数的顶点形式是a(x-h)+k。这让我们可以立即看到顶点，但它不是标准形式。然而:

也就是说b=-2ah

从这里开始，我们有两个选择。我们可以解出ah+k = c中的k，或者我们可以把h代入函数中，对k求值，也就是k=ah+bh + c，学生们通常更喜欢后一种方法，尽管我将在下面的证明中做前者。

这就给了我们三个步骤来求标准形式的二次方程的根:

1.确定h。

2.确定k。

3.评估h±√(- k / a)。

让我们看看上面两个二次公式是等价的证明。我们首先需要证明的是:

这包括三个步骤，而不是一个，但它有几个明确的优点。首先，它也给出了抛物线的顶点，否则我们需要分别计算。

不过，对我来说更重要的是:我们用两个更简单的公式取代了一个繁琐、难以解释、甚至更难记住的公式

让我们解出ah+k = c的k，回想一下h=-b/2a。

现在我们对上述进行代换

因为h = - b / 2,

这正是我想要证明的