函数、方程、不等式不可割裂看待

之前的一张练习里遇到一道题,学生们都感到无从下手,题目如下:

已知抛物线y=x^2-mx-3与直线y=2x-5m在-2≤x<2之间有且只有一个公共点,则m的取值范围是

这道题对于初中生而言毫无疑问是一道难题,但凡含参的问题都是不好处理的,这个题目亦是如此。如若没有范围的要求,学生们很容易想到交点的问题就是方程的问题,两个解析式联立,得到关于x的方程,再研究方程的解的情况就可以了。此题考虑交点的问题,还加上了范围的要求,使得题目的难度加大了。如何下手?

我们还是从方程的角度出发,但我们尝试换一个角度看待我们列出的方程。联立两解析式后得x^2-mx-3=2x-5m,移项后我们得到方程x^2-(m+2)x+5m-3=0,本题就是探讨该方程在-2≤x<2之间有根的问题。由此我们再考虑函数y=x^2-(m+2)x+5m-3在-2≤x<2上的零点问题即可。这样把两个函数(或方程)转化为一个函数(或方程),问题简化了。而新构造的函数在-2≤x<2上的零点问题又分为两种情况①函数图象与x轴本身就只有一个交点,方程根的判别式为0,求解出m值之后再验证交点在不在-2≤x<2上;②函数图象恰好穿过x轴上-2≤x<2的范围,此时只需x=-2和x=2时的函数值异号即可(特别地,考虑x=-2时的函数值为0的情况),由此求解。

此题的答案是m=8-4√3或-5/7≤m<1,有兴趣的同学可以自己试着求解。

做题不是目的,做题是为了在做题中形成和总结思路方法,锻炼思维。由此题看来,函数和方程、不等式不可割裂开来,其固有的联系是我们做题时必须考虑到的,这为我们打开思路去构造和创新。

(0)

相关推荐