从一道小型压轴题体验“矛盾转化”

王 桥

今天下午，群里有个老师问了一道题。感觉这道题目还是有点小代表性的。恰好正在修订《十招》，就决定收录进新的《冲刺十招》里。题目如下：

如图，已知菱形ABCD的边长为12，AC、BD为两条对角线，∠BAD=60°。点E为AB上一动点，EP⊥AD于点P，EQ⊥BD于点Q，则△PQD周长的最小值是         。

这道题目确实还是有点小难的。因为△PDQ的三条边长都不确定。也不属于“将军饮马”“胡不归”之类，那么究竟是属于哪一类的“几何最值”问题呢？——关于“几何最值”，请参阅《春季攻势》第17讲相关内容。

我们不妨借用《冲刺十招》第6招——曲径通幽需“转化”的策略，进行矛盾转化！

首先，△PDQ的周长=DP+DQ+PQ。

如果大家胸中有模型的话，很容易想到EP+EQ=AO=6√3的结论（你会证明吗？请参阅《冲刺十招》第一招第套路2例1或例5，或本公众号相关文章——《从一道题目的多种证法谈起》）。则易证明PA+QB=1/2AB=6，为定值。则PQ+DQ=12+12-6=18也为定值。——为什么？？？这里省略若干字......从一道题目的多种证法谈起

因为△PDQ的周长=PD+DQ+PQ，则只需求出PQ的最小值即可——即把求△DPQ周长的最小值，转化为求线段PQ长度的最小值。

我们再看线段PQ，是在边长为12的正△ABD中，DP+DQ为定值18，且∠PDQ=60°的∠PDQ的对边。

解决这道题目的关键节点有以下几点：

1、把EP+EG为定值转化为AP+PQ为定值

2、把AP+BQ为定值转化为DP+DQ为定值

3、把△DPQ周长的最小值转化为求PQ的最小值

4、把PQ的长度转化为与线段PQ的长度有关的二次函数（请参阅《春季攻势》第17讲“几何最值”之——函数型几何最值）

当然，这里也用到了《冲刺十招》第2招——无中生有话“构造”中的构造基本图形——“直角三角形”，以及“构造函数”等策略......

转化思想，也是学习数学和解决数学问题的做基本最常见的思想方法之一。《冲刺十招》是一本以数学思想方法为编排体系的二轮备考冲刺系统。第6招即为训练转化思想的专题：曲径通幽需“转化”！究竟有哪些常见的转化策略？请参阅《冲刺十招》第6招。目前，新版《冲刺十招》正在抓紧修订中，预计4月15日前，在第三届二轮备考研讨会前出来。