各种债券的定价公式

我们知道，

债券的内在价值，也可称为理论价格或合理价格，计算方法是将债券产生的所有未来的现金流，折算成现值并求和。债券产生的未来现金流，有每期的利息、有到期按面值偿还的本金，所以，债券内在价值的计算公式，通常可写成如下形式：

公式中的Ct,是指债券在第T期支付的利息，M是指债券的面值，r是指各种现金流的折现率，如果把Ct的含义扩展一下， 定义为第T期的现金流， 这个公式可以进一步简化为:

仔细看一下这个公式，你能发现其中隐含了什么前提假设吗？你看这个折现率r，并没有区分r1,r2 ,r3.....。意味着对于任意期限的现金流，都使用了相同的一个折现率，这么做主要是为了简化计算。下面我们来考虑，如何给不同种类的债券进行定价，首先来看第一类债券，附息债券。

附息债券中的这个“附”字，是”附加”的“附"，不是"支付"的"付",附息债券可以看作是“附有息票的债券”的简称，息票是债券持有人领取利息的凭证。利息可以根据债券面值、票面利率和付息频率来计算。我们来看一个例子：

例1:某债券面值为1000元，期限为3年，每年付息一次，票面利率第1年为5%、第2年为6%、第3年为7%，三年后归还本金，如果投资者的期望年收益率是9%，那么该债券的内在价值是多少元?    解:该债券每年的付息金额是不一样的:第1年的利息是1000*5%=50元，第2、第3年的利息分别是60元、70元，期望的年收益率作为折现率。将这些数字带入前面的定价公式，

计算出来该债券的内在价值是922.61元。

例2:某债券面值为1000元，期限为3年，每年付息一次，票面利率为6%，三年后归还本金，如果投资者的期望年收益率是9%，那么该债券的内在价值是多少元?刚才第1个例题，债券的票面利率每年不一样，在这个例题中，其票面利率是固定的，每年支付的利息都是相等的

计算出来债券内在价值是924.06元。本例中，每一年的债券利息支付，是一种定期等额的现金支付，可把它称为年金。而且，这种现金支付发生在每期的期末，叫做普通年金。

这个公式的前三项，可看作是普通年金的现值求和，运用等比数列求和公式，可以简化为这种形式，如上图。附息债券的付息频率，也可能是每年付息多次，请看下一个例题：

例3:某债券面值为1000元，期限为3年，每半年付息一次， 票面利率为6%，三年后归还本金，如果投资者的期望年收益率是9%，那么该债券的内在价值是多少元?

解:这个例题与第2个例题相比，就增加了一个字:“每年付息一 次”改为“每半年付息一次”。这时，我们首先要想到，付息次数不再等于债券的期限，而是三年的时间共付息6次。其次，要计算每半年付息时，付息的金额是多少。一般就取年付息金额的一半，即60除以2等于30元。套用前面的公式得到，

请你仔细看看这个公式，有没有发现不合理的地方?

请你仔细看看这个公式，有没有发现不合理的地方?对了，问题出在折现率上，你看，30元是每半年的付息金额，而9%是每年的折现率，两者是不匹配的。需要把年折现率变为半年的折现率，通常的做法是直接除以2。此外，公式中最后一项，对面值进行折现时，一般也需要使用半年的折现率，以保持整个公式中使用同一个折现率。修改之后的公式如下：

从这个例题可以看到，若付息频率由每年1次改为每年2次，公式中有三个地方需要修改: 一是付息金额减半;二是折现率减半;三是期限加倍。以上三个例题，我们考虑了附息债券的利息是否固定不变，和每年可能付息多次的情况，实践中可能还有一种情况，可赎回债券，就是说，债券发行人根据约定条件，可以在债券到期之前按约定的价格提前赎回。对这种可赎回债券，它的定价公式是，

公式中的PC是债券的赎回价格，T是赎回时的期限。好，前面这些债券都是附息债券。接下来我们讲第二类债券，零息债券的定价公式，零息债券的特点是，存续期内不发放利息，到期按面值偿还本金。也就是说，这种债券的利息为零，它产生的所有现金流就只有一笔:期末的面值偿还。所以它的定价公式北较简单：

问你一句，零息债券不发放利息，为什么会有人去买它?这是因为，零息债券的售价通常低于其面值。这一点从刚才的公式中可以看出:价格P一般会小于面值M。购买者以低于面值的价格买入债券，持有到期时获得等于面值的偿还，面值与购买价之间的差额就是购买者的收益。

除了附息债券、零息债券之外，还有一种特殊的债券，永久公债。这种债券没有到期期限，不归还本金，但每年定期支付固定的利息。其定价公式是

你看出来了吗？永久公债的现金流就是一种永续年金，它的现值之和非常简单，就等于每年的固定金额除以折现率。