（新课程）长春·中考数学压轴知识点——反比例函数题型讲解
前言 PREFACE
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反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的两条曲线,反比例函数图象中每一象限的每一条曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
实操真题讲解
1．（2020·长春）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连接AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝k/x（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（ ）
A．0＜k≤2 B．2/3≤k≤3 C．2/3≤k≤2 D．8/3≤k≤4
【分析】
设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，由△PCD∽△ACB，用c表示P点坐标，再求得k关于c的解析式，最后由不等式的性质求得k的取值范围．
【解答】
解：∵点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，
∴OB＝3，AB＝2，
设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，
则BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c，
∴△PCD∽△ACB，
∴PD/AB=CD/CB=CP/CA，
∵AP＝2PC，
∴PD/2=CD/(3-c)=1/3，
∴PD＝2/3，CD＝1﹣1/3c，
∴OD＝OC+CD＝1+2/3c，
∴P（1+2/3c，2/3），
把P（1+2/3c，2/3）代入函数y＝k/x（x＞0）中，得
k＝2/3+4/9cc，
∵0≤c≤3
∴2/3≤k≤2，
故选：C．
【点评】
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，不等式的性质，关键是求出k关于c的解析式．
2．（2019·长春）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝k/x（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A．9/2 B．9 C．27/8 D．27/4
【分析】
根据A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）可知OA＝OC＝3，进而可求出AC，由AC＝2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．
【解答】
解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0），
∴OA＝OC＝3，
在Rt△AOC中，AC＝√OA²+√OC²=3√2，
又∵AC＝2BC，
∴BC＝3√2/2，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，
∴CD＝BD＝3√2/2×√2/2=3/2，
∴OD＝3+3/2=9/2
∴B（9/2，3/2）代入y＝k/x得：k＝27/4，
故选：D．
【点评】
直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形性质和判定以及反比例函数图象上点的坐标特征是解决问题必备知识，恰当的将线段的长与坐标互相转化，使问题得以解决．
3．3．（2018·长春）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝k/x（x＞0）的图象上，若AB＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．2√2 C．2 D．√2
【分析】
作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC＝√2AB＝2√2，BD＝AD＝CD＝√2，再利用AC⊥x轴得到C（√2，2√2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．
【解答】
解：作BD⊥AC于D，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝√2AB＝2√2，
∴BD＝AD＝CD＝√2，
∵AC⊥x轴，
∴C（√2，2√2），
把C（√2，2√2）代入y＝得k＝√2×2√2＝4．
故选：A．
【点评】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了等腰直角三角形的性质．
4．（2017·长春）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在第二象限，∠BAO＝60°，BC交y轴于点D，DB：DC＝3：1．若函数y＝k/x（k＞0，x＞0）的图象经过点C，则k的值为（ ）
A．√3/3 B．√3/2 C．2√3/3 D．√3
【分析】
根据平行四边形的性质得出点B的横坐标，再由DB：DC＝3：1得出点C的横坐标，由∠BAO＝60°，得∠COD，即可得出点C坐标，即可得出k的值．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（﹣4，0），
∴BC＝4，
∵DB：DC＝3：1，
∴B（﹣3，OD），C（1，OD），
∵∠BAO＝60°，
∴∠COD＝30°，
∴OD＝√3，
∴C（1，√3），
∴k＝√3，
故选：D．
【点评】
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
5．（2016·长春）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y＝k/x（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（ ）
A．减小 B．增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【分析】
首先利用m和n表示出AC和CQ的长，则四边形ACQE的面积即可利用m、n表示，然后根据函数的性质判断．
【解答】
解：AC＝m﹣1，CQ＝n，
则S四边形ACQE＝AC·CQ＝（m﹣1）n＝mn﹣n．
∵P（1，4）、Q（m，n）在函数y＝k/x（x＞0）的图象上，
∴mn＝k＝4（常数）．
∴S四边形ACQE＝AC·CQ＝4﹣n，
∵当m＞1时，n随m的增大而减小，
∴S四边形ACQE＝4﹣n随m的增大而增大．
故选：B．
【点评】
解：AC＝m﹣1，CQ＝n，
则S四边形ACQE＝AC·CQ＝（m﹣1）n＝mn﹣n．
∵P（1，4）、Q（m，n）在函数y＝k/x（x＞0）的图象上，
∴mn＝k＝4（常数）．
∴S四边形ACQE＝AC·CQ＝4﹣n，
∵当m＞1时，n随m的增大而减小，
∴S四边形ACQE＝4﹣n随m的增大而增大．
故选：B．
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