整除与余数

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整除和余数是小学奥数中非常重要的一块内容。

贼老师

在之前我们已经讲过能被1-11之间的整数整除的特点，当时的目的是用来锻炼数感的。现在我们的要求提升了，要对整除和余数的知识点进一步深入研究。

首先我们要做一个补充，关于能被7,11,13整除的特点：一个整数的末三位数与末三位数之前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11,13）整除，那么这个数就能被7（11,13）整除（被7和11整除的另外的规律和今天补充的并不冲突，喜欢用哪个都没有问题）。

很多家长看见这个规律，第一反应是：让娃背去！

很遗憾，这个做法是错误的。

难道你就没点好奇心嘛？！

难道不是应该先找点数字来试试看，发现果然是对的，然后下一个问题就是：why？

为什么满足这条规律就是对的呢？

贼老师

要始终对新知识抱有强烈的好奇心，才会有兴趣去挖掘背后的规律。如果没有好奇心怎么办？

上面就是引导的过程——把规律给孩子，观察孩子的反应，如果直接背就直接问他：孩子，你有没有想过为什么这是对的呢？

这个规律为什么对，下一篇文章会介绍，这里家长可以先自己尝试着证明一下。

数的整除和余数，说到底就是一个式子：

m=kn+r

其中m是被除数，k是除数，n是商，r是余数，理论上又讲完了。。。

当然，仅限于理论上。

我们还是要通过一些实际的例子来告诉大家怎么教孩子。

例

x2004y能被99整除，求x,y各是多少？

我们该如何处理这个问题？

被99整除的数的特点是什么？

老师没讲过啊！

那很正常啊。考试谁会考你都讲过的东西呢？这个时候该怎么办？

贼老师

一直以来跟着我的号走的朋友可能很快回过神来了，是不是化归？

没错！就是它了！

那怎么化归？既然99的整除规律不知道，能不能通过其他的方式来凑出99的规律呢？我们看到，99可以分解成9乘以11，而9和11的整除规律我们是知道的，所以只要这个数既能被9 整除，又能被11整除，题目就做完啦！

被11整除的数的特点是什么？无论是今天补充的还是之前讲的都挺麻烦的，所以我们先考虑9，这就是数学中最常用的技巧：

柿子挑软的捏！

被9整除的数的特点是各位数字之和能被9整除，所以x2004y之和是x+y+6，要被9整除，那么x+y只能等于3或者12。

贼老师，那27,36也都是9的倍数啊，为什么不考虑了呢？

因为x和y都是一位数啊，加起来最多就是从1（为什么不能是0）到18啊，如果x+y+6=27，那么x+y=21，是不是矛盾了？

贼老师

范围一下子就缩小了很多了吧！

再来看被11整除的情况。

由于我们有两种判断的方法，究竟哪种更合适呢？

试试！

不要不敢尝试，想到什么就写下来。由于现在各种减负，学校里的作业简直就是一目了然，要动点脑筋的题目几乎没有，而不动笔是学数学的大忌！必须要勤动笔，因为就算是错了，也是一种锻炼。

那个谁，大概是爱迪生吧，发明灯泡的时候，就是不断地实验各种材质的灯丝，多达几千种的材料都被pass了，别人冷嘲热讽也不在乎，失败？不存在的——我只是找到了一种不能成功的方法。

所以，做数学题，特别是有一定难度的，一定不要怕尝试。在这个题目中，x20-4y看起来是很难处理的，对我们而言，这可能并不是很好的办法。

于是我们就可以试另外一种：x+4-2-y=x+2-y要是11的倍数。

这个看起来就容易多了，结合x+y=3或者12，再来分析！

如果x+y=3，那么x-y和x+y有相同的奇偶性，所以x-y也是奇数，加上2不可能等于0；

那只能x-y=9了，这个显然超过小学数学的范围了。

所以x+y只能等于12了！

再来看x+2-y如果等于0，那么我们只要稍微凑一下就可以得到x=5,y=7了；如果x+2-y等于11，必然x=9,y=0，与x+y=12矛盾。

所以，这个六位数就是520047.

聪明的大朋友，你们学会怎么教小朋友了么？

贼老师

下课！

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