代数式综合计算（五）

代数恒等式的证明是另一会充满计算技巧的题型。

高中的话就是三角恒等式的证明，可惜现在不再强调了，这部分已经被整体geld掉了。

我对初中数学的理解就是：一定要过计算关，能把计算能力提升到多高就提升到多高，不会吃亏的。

所谓的恒等式证明，就是通过恒等变换，证明等式两边的代数式相等。

这个在以后高中解三角形里也是体现的淋漓尽致。解三角形是利用三角变换，但是三角函数和边的条件往往是结合在一起，这个时候怎么利用三角公式，把边化成弦或者把弦化成边就是恒等变换，这个基本功在哪里练的呢？

就是这里。

我们来看一些例子：

已知abc=1，求证：

很显然，我们不能对右边做什么变换，因为右边已经是最简单的形式了，所以这时候应该考虑变换左边。

有家长不服了，说自己做学生的时候就碰到过把1变形的啊！

贼老师教学的基本原则就是循序渐进。虽然题目会很难，但是在讲一个新的专题的时候，第一个题目往往没那么变态的。到后面当然就。。。

左边怎么变形？

你在小学的时候要碰到分数做加减法，第一反应是什么？

通分。

所以我们也希望把这个分母变得一样。我们不妨试试看：

看到这里有的家长就要崩溃了。。。

嗯，这展开不得20多项啊。。。

有没有可能做错了？

有。

选择总是痛苦的。这时候是考虑换条路还是继续试试？

都可以，看个人想法了。

作为我来说，毕竟当年算爱因斯坦场方程的精确解的时候曲率项有接近一千项我都处理过，所以20多项？还好嘛。。。

何况我们abc=1这个条件还没用呢？

我的想法就是看看能不能把这个条件给用起来。我们考察a(bc+b+1)(ca+c+1)这项，因为分母是不能动了，看看分子能不能化简成和分母一样，如果可以做到，题目就做完了。所以如果把分子展开以后化简完了就是分母那就好了，但是由于肉眼直接可测，完全展开项数太多，所以先看看分量有没有机会？

这段请大家仔细体会，这个思考过程很重要。

事实上，我们把a乘到bc+b+1里面去，即得abc+ab+a=1+ab+a，和b(ab+a+1)(ca+c+1)有公因式，而后者b(ca+c+1)=1+bc+b，所以前两项的和等于(ab+a+1)(ca+c+1+1+bc+b)=(ab+a+1)(bc+ca+b+c+2)，再加最后一项c(ab+a+1)(bc+b+1)，等于

看起来和分母并不是很像。

不过由于分子分母同含有ab+a+1，约掉以后，即证明：

当然，本题有很讨巧的办法，作为初学者来说很难想得到，但是可以细细体会一下——我们体会的目的是为了让自己以后能想到。

证毕。

这里的关键一步是：把abc=1看做1=abc.

初学者怎么可能想得到嘛！但是程度较好的初中生用前面的方法应该还是有可能做出来的。后面的方法较之前者简便了太多，但是如果没有训练是很难直接用出来的。

本题当然可以推广成已知abcd=1，求证：