丁玖：数学应该怎么学？
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撰文 | 丁玖（南密西西比大学数学系教授）
编辑 | 黄俊如
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从幼儿园小班到高中毕业，我国大部分青少年要和数学打大约15年的交道；若是进了大学的理工科，还要再与高等数学打几年交道；如果将来的志向是当数学教授，则要打一辈子交道了。多年来，由于奥数的大举入侵，数学似乎成了许多学生成年前最花心血的一门学科。照理说，校园内外有这么浓厚的数学氛围，我们的学生应该是数学的宠儿了，但是我经常听说大学理工科的许多学生十分怨恨数学，也没有真正学好数学，甚至包括数学系的那些理想成为职业数学家的新生。
这是什么原因呢？我想一个原因是他们中的一部分人，学到大学阶段还不知道怎样学数学。
我14周岁高中毕业，在三个工厂当过五年的工人，能荣幸成为七七级高考均分与天文系并列全校第一的南京大学数学系新生中的一员，得益于我进厂学徒前，在三个月内从头到尾精读完“文革”前高中三年的18本数理化课本。进大学后，在全班强手如林并且人人苦读的氛围中，我循序渐进、稳打稳扎，配合数学与人文课内课外书籍的大量阅读，本科毕业时真正爱上了数学，走上了职业数学工作者的康庄大道。一眨眼，我已在美国一所大学的数学系任教快29年了。对怎样学好数学，我有点心得体会，甚至也有过思考。
丁玖在南大研究生宿舍看书，1983年。本图由作者提供。
其实如同选择婚姻配偶一样，最适合自己的学习方法就是最好的方法。就像不同的人有不同的指纹，不同的人有不同的学习方法，各有各的优势和弱项。比方说，透彻理解概念和思想的学生，将来成为创造型研究家的几率较大。但如果他们平时练习不够，或不喜爱机械记忆，很有可能其成绩单不够漂亮，不能唬人。而成绩单在学校，尤其是中国的学校，可是个衡量学业质量的最重要的凭证呀。
我的师爷约克 (James Yorke) 教授就是藐视“成绩决定论”的一个人物。约克教授曾给我看过他高中时期的成绩单，上面四年的数学成绩全在90分以下。但是他自豪地说：“我从高中就学会了怎样学数学。”这就能解释中学数学没有A的他，居然在全州的高中数学竞赛上获得第三名。到了大学，约克的成绩自称“没有B”，他来自台湾的博士生李天岩，自然中国式地推理下去：“全是A。”但是导师却笑眯眯地回答道：“C或者C以下。” 这个成绩单拿不出手的美国小子，后来成为了世界闻名的混沌学大师。
詹姆斯·约克(James Yorke)教授。图片来源：美国马里兰大学网站
但是，没有放之四海而皆准的“学习方法”，并不意味着不存在可以用来回答“怎样学习”这一难题相对而言行之有效的一些行动准则。我将采用我的同学故事为我表达的观点提供客观例证。实际上，下面的经验之谈或基本观点大都来自于我班同学的亲身体会，也深得我的共鸣。所以有些标号为“我的”观点，实际上也是“我们的”观点。
认识你自己
我的大学同学翟灿芳小学六年级时就拿过全县的算术比赛第一名。1963年考入初中后，他的数学成绩在学校遥遥领先。尤其是学到平面几何的那个学期，很多同学找不到北，他却是如鱼得水。到后来，他的老师解不出来的数学题也来问他，他都能一一解出来。于是同学们叫他“小华罗庚”。风头正盛的翟灿芳被校长请到了全校大会上讲讲他是如何学好数学的。无论他怎么绞尽脑汁地想，他也不知道是怎样学好数学的。最后他只好胡乱地编出类似于“愚公移山”的励志故事——这和舆论一致推崇的“笨鸟先飞”的说法，基调完全是一致的。
几十年后，当翟灿芳和我聊起这段往事时，他用“胡说”二字，对他在初中大会上传授“愚公移山”的学习法宝这个历史事件定了性。然后他下了这样的结论：“其实兴趣和天资是最重要的。”
翟灿芳已经替我们给出了回答 “怎样学习” 这个问话的先决条件：首先是兴趣大于一切，其次天资也是成功的关键因素。学习的动力来自于对所学科目的热爱，而这种出自兴趣的热爱又往往被自己的天赋之才所点燃。
杨振宁先生与生俱来的天赋在于理论探讨，而动手实验却是他的弱项。他刚到芝加哥大学物理系读博士学位时，做实验屡屡受挫，实验室里甚至流传出一句笑话，“哪里有爆炸，哪里就有杨振宁”。所以将杨振宁培养成像丁肇中那样的实验物理学家只会是天方夜谭式的美梦，但是强大的数理分析能力和超越常人的科学想象力成就了他作为当代伟大的理论物理学家的一生。
在几十年前那个特殊的时代，人们信奉的是鼓舞大众的一句励志成语—— “笨鸟先飞”。这句话确实具有鼓励上进的积极功能，但不可否认的简单事实是：会飞的普通白鹅无论怎样鼓气上飞，却永远不能像白天鹅那样翱翔天穹。因此，昨日的这四字豪言和今日的一句更加响彻云霄的口号“不让孩子输在起跑线上”，某种意义上讲，在读书学习上都是误导民众的“罪魁祸首”。在如何学习这方面，我们也要听听苏格拉底“认识你自己”的忠告。正确的姿态应该是这样的：不管自己是否“生而知之”或是“天生愚钝”，充分认识你自己，扬长避短，培养对于你真正喜欢的一门学科的兴趣，寻找到适合自己的方法，勤奋地读书学习，最大限度地飞翔到与你的才华和能力相匹配的一个高度。
告别“多动症”
好了，如同在数学上常做的那样，我们先给出一组假设：学生已经建立起对数学的兴趣，并且愿意勤奋地学习。他或她是否天赋极高或智力平平，我们在这里并不在意。在这理想的状态下，怎样事半功倍地学好这门学科，而无需来自家长、辅导员、心理学家或校方专司学生工作的有关部门等等的非数学因素的配合？
我首先想强调的是：学习的第一要素为专注。很难想象一个有“多动症”，注意力高度不集中的学生会念好书，尤其是学好数学。须知，深奥的极限理论非凝眸定力一字一句地琢磨，不能深刻领会其精神实质，顶多是云雾中的一知半解，似懂非懂。我想指出的是，专注者看书一小时的效果，抵得上精神涣散者五个小时的智力劳动。如果真的想学好数学，注意力较差的人必须下定决心排除万难，先学会专注的这门童子功。
那怎样才能掌握这门功夫呢? 京剧大师梅兰芳先生小时候两眼稍有近视，导致眼神不能外露，眼珠转动也不灵活——这对于一个演员来说是个致命伤，就像学数学者先患了“多动症”一样。拜师时，老师讨厌他的一双“死鱼眼睛”而不肯教他，但他不灰心，通过驯养鸽子练眼功，久而久之练就了后来在舞台上顾盼有神、熠熠生辉的双眼。
举一反三，我们可以开出医治“专注缺乏症”的一剂良方：到人多嘈杂的场所读书去。如果你不喜欢走出户外，也可以打开电视机，选择一个特别有趣的节目，并且使它有声，然后坐在电视机前看书，努力不让自己抬起头来看电视。刚开始时，你大概会被身边晃动的人群和高分贝的“混合唱”，或者电视里动人心弦的表演搅得心烦意乱，进不了书的世界。但是，只要你强迫自己目光如炬地注视眼前的铅字，无视他人它物，达到天塌下来也无所畏惧的境界，你的注意力就会稳步上升。
过不了几次，你的专注能力就会冲上90分的高度。到了那时，你看书时就可能像我的大学同学王雪平那样一动也不动了——他是我班同学中最早担任海外大学正教授的。如果这样，我祝贺你已经具有了学好数学的一个必备条件。然而，这还不是一个充分条件。所以你需要继续读下去。
王雪平在南京大学本科生宿舍，1980年左右。本图由作者提供
理解概念而不是背诵它
我在长期的读书经历中，体会出学好数学最重要的法宝就是对概念的精通。数学以公理和公设为前提，以定义为先导，以逻辑为工具，逐步推演出紧紧围绕在被定义概念周围的各种命题。在这个过程中，推理的艺术笼罩一切，所涉及的概念无处不在。因此，一碰到某个概念，就应该在脑海里浮现出关于它的清晰图像。
既然概念这么重要，为什么许多学生并不把它放在眼里呢？原因之一或许是，背诵定义比理解定义更容易、更轻松。好的教科书中的数学定义，写得非常清楚，也很节约，即没有任何废话，每个字都有用。但要完全理解复杂定义的内涵，并非易事，它需要不停的苦思冥想、绞尽脑汁。
检验自己是否真正搞懂了一个定义，一个妙法就是命令自己写出该定义不满足时的一句陈述。如果写不出来，大概离真懂定义尚有一段距离。
兹举一例。假设读者学过 “ε - δ” 语言的极限定义。让我们先回忆一下这个定义：我们说函数f当x趋向于a时的极限为L，如果任给正数ε，存在正数δ，使得当位于f的定义域内的x满足不等式0 < |x - a| < δ时，不等式|f(x) - L| < ε就成立。那么，“函数在a点的极限不是L”这一现象该怎么陈述呢？
这是关于一个性质不成立的说法。当这个性质比较简单的时候，否定的说法同样简单。比如说，“我是一个学生”的否定叙述就是“我不是一个学生”。然而，对于一个包含了“任给”、“存在”、“当......就”等单词和短语的复杂定义，它的否定语句就不是那么好对付的。这需要开动我们头脑里所有的逻辑机器，挥舞分析的大刀，才能办得到。
只求记忆、不肯思考是许多人学数学时的一大障碍。一些同学早已将上述的极限定义背得滚瓜烂熟，但还是俘获不了对方的芳心，一做起稍有挑战性的极限题就坠入迷雾之中。尤其在需要证明极限不存在的场合，就更加不知所措了。
费恩曼读书法
固然，有人是愿意思考的，但可能由于某些不易控制的内在或外来的因素，对于复杂的定义或者艰深的证明，一下子难以理解。这时，耐心就起了关键的作用。
这里我们不妨借用一下美国物理学家费恩曼在他23岁时给他14岁的妹妹的读书指导：“你从头读，尽量往下读，直到你一窍不通时，再从头开始。这样坚持往下读，直到你全能读懂为止。”这个方法是行之有效的，最适于希望无师自通的自学者们采用。
美国理论物理学家理查德·费恩曼。图片来源：wikimedia
求学期间，由于我的理解力不算太差，加上读书时颇为专注，学习的效率不很低，因而有余力大量阅读参考书或与课程无关的课外书籍。我的读书方法实际上遵循的就是费恩曼的读书法——尽管那时我还不知他是何许人也。一旦我读到某处被卡住了，就知道我对之前书中引入的新概念还有问题，于是我就回到前面该读的地方再读一遍。这种反复阅读的来回作战，我不但不感到枯燥无味，反而越读越兴趣盎然，盖因每读一次都有新的理解、新的收获。
我在大学阶段读过的那些参考书或课外书，如匈牙利人黎茨 (Frigyes Riesz) 与塞可佛尔维-纳吉 (Béla Szökefalvi-Nagy) 的名著《泛函分析讲义》(Functional Analysis)，都是这样慢慢往下啃的。到了研究生阶段，自由支配的时间更多，我也乐意广泛阅读专业基础书和研究参考书。在南大读硕士研究生期间，我们几个同窗学友读了很有深度的《凸分析》(Convex Analysis)。
我相信，我大学同学中分析数学学得比较扎实的那些人，肯定与费恩曼“英雄所见略同”：读书时碰到不懂之处时，马上从头再来，逐步推进，最终全盘拿下整章整节。
看懂定理的证明
既然数学可以说是一门“证明的科学”，从某种意义上说，学会了证明就等价于学好了数学。懂不了命题的证明，对于数学生而言几乎就是“耻辱”。所以约克教授曾经强调说：“理解重要定理证明的每一步比理解定理本身还重要。”
但是如何看懂定理的证明呢？前文提到的约克教授是这么说的：
“学生（甚至教授）要试图理解证明中的关键思想，并最好找到两个关键的想法。这些关键思路不一定非得以‘引理’的面貌出现，因为书中也许指出了太多似是而非的关键线索。其实关键思想往往是令学生大吃一惊的那个，因而不同人会挑出一个证明中的不同关键想法。它们是提高我们理解力的关键要素。一个关键的点子也许会有复杂的证明，故学生们应当从这个过程中发现两个关键的思想。”
约克教授提到了初等微积分里的“介值定理”，它的几何意义连小学生都能看懂：连接一条直线两旁各一点的一条不间断的曲线一定要穿过这根直线。该定理的正式数学陈述是：如果f是一个定义在区间 [a,b] 上的取实数值的连续函数，则对位于函数值 f(a) 和 f(b) 之间的任何一个数d，存在 [a,b] 中的一点c，使得 f(c)=d。证明它的第一个思想是，通过区间的中点将区间 [a,b]一分为二，得到两个子区间，长度都是原区间的一半。数d一定位于函数在两个子区间之一的两个端点上的值之间。由此性质确定的那个子区间将取代原先的区间。第二个思想是，重复运用上面那个平分区间的思想，并且保持数d总是位于区间两端点的函数值之间这一性质，就可以得到每次长度缩小一半、前面套住后面的一个无穷的闭区间序列。这些区间最终将趋向于一个点c。根据假设f是一个连续函数，因而该点c必定满足等式f(c)=d。上述两个思想就是证明介值定理所需要的关键步骤。
从左至右：James Yorke，李天岩，丁玖，2015年。本图由作者提供。
我读博士那几年，导师李天岩教授的博士生一直坚持每周一次的讨论班。他对我们报告别人论文的基本要求是“我不要听你们一般性的证明，请给我证明特殊的情形。”一般结论背后的思想往往在特殊情形中表现得更为生动。任何抽象数学定理的原始想法经常来自于某个具体的数学对象，然后进一步的思考就能激起对有用性质的抽象化过程，最终导致“一个定理的诞生”。这最后七个字是菲尔兹奖获得者维拉尼的一本数学畅销书的书名。那种阅读定理证明直奔思想腹地的探索行为，让我们终生受益。
塞德里克·维拉尼著《一个定理的诞生》
科学地做题
学习数学的一个重要步骤是做习题，然而绝不是做得越多越好。我的大学同班同学、中科院院士田刚读本科时虽然做了近两万道习题，但是他现在被采访时也不鼓励学数学的大学生像他过去那样。
其实中国目前数学题做得最多的反而是中小学生，惟一目的就是为了高考。学简单的初等数学花了那么大的劲，就好像杀鸡用了牛刀。中国的高中生做的数学题大概几十倍于美国高中生，但无法否认的事实是，最后成为杰出数学家的美国人大大多于中国人。原因何在？就在于中国学生的做题是为了增加高考数学题目的命中率，而美国学生的做题是为了巩固概念并帮助 “推陈出新”。
那么，怎样做题才算“科学地做题”？首先，因为学好数学最根本的要旨是掌握概念，所以概念不清的时候就不要急于忙着做题。我班那些善于做题者，下课后都是不慌不忙地先把定义、定理搞得一清二楚，然后才开始做题，这又加深了概念的理解。
好的教科书列出的习题，除了一部分是围绕概念或应用定理的“常规题目”，还有一批是锦上添花极具挑战性的上等题目。有的书干脆将带有提高性的某些重要命题放在这里向读者叫板，请予证明。要敢于尝试这类题目，而不要做太多几乎不要动脑子的“概念题”，这才是提高数学品味的最佳途径。苏联人吉米多维奇经典的《数学分析习题集》的5000道题目中大概有四分之一左右的难题。我的大学同窗田刚、何炳生、张砚凝、钱迈建、魏木生等人则是通过攻下这些难题而逐步练就分析数学的真功夫。
正确对待考试
“学生怕考试”似乎是雷打不动的事实。我在美国教书的班上，有些学生一到考试前，总是千方百计地打听考试的范围，巴不得我把考题事先告诉他们。每当这个时候，我总会想起当年念大学时的镜头：教我们《数学分析》的倪进老师考试前常会说：“我真的不知道怎样为你们复习，我不可能从头到尾重讲一遍，你们自己复习吧。”于是我们只好自己复习迎考。
怎样复习? 那就如“八仙过海各显神通”。有的人把做过的习题再过一遍，忘掉的证明或解法这时可以还原于脑。而对我来说，最好的复习方式是，正襟危坐，手捧教材，一个字一个字地从头到尾把它读完——重温了定义，巩固了概念，厘清了疑难，完成了任务。然而我知道，总有比我考得更好的，总有比我交卷更早的。这不奇怪，一分耕耘一分收获。对于考试而言，只要智商不低，只要多花功夫，只要复习得当，考个满意的分数对哪个人都不会是个问题。
考试成绩当然是重要的，上好的成绩单作为记录在案的学术历史，也能让自己一辈子感到荣耀。可是如同大学排名榜，按照数学家出身的芝加哥大学的校长 Zimmer 博士的说法，只要在排名基于的那些具体指标上多下功夫，学校的排名就会上升，因此美国的名牌大学对排名基本上不太在意，只跟随自己的教育理念和既定方针，强化学校的教学与科研。同样的道理，如果一个读书的学生把考试成绩看得太重而轻视博览群书的自我成长，基于考试成绩的第一第二只能会是时间上的局部函数。一个有远大理想的学子，考虑的应是十年后的冒尖或二十年后的辉煌。
我有点庆幸自己在大学时代没能坚持都向成绩好的同学看齐，而是跟着自己的感觉走。失之东隅收之桑榆，这个成语就解释了我的一次经历。在报考硕士研究生前，不少同学不修第二外语了，我还是坚持修完了第二外语德语，这当然会减少为了迎考复习英文的时间。读了研究生后，我通过了免修德语的考试，又修了俄语。到了美国以后，偏偏密歇根州立大学的数学系有个拿博士学位的必要条件：通过两门外语，在德语、法语、西班牙语和俄语中选，中文自然落选。幸亏我在南大修过德语和俄语，关键时刻它们派上了用场。我很快就通过了这两门考试，避免了再去修课及格通过的小麻烦，并且拿到了最高一等的助教奖学金。因为通过了博士学位所要求的全部考试，就差一篇博士论文交差了。
总而言之，学习与婚姻一样，都是终身大事。在青少年阶段养成好读书的习惯和读好书的品味，在课堂求学的数年，学会怎样学习，寻求到适合自己的读书法，就能化被动为主动，唤起书中铅字的活力，把它们读得翩翩起舞。你的思维也就活动起来，你的阅读快感也会不断升腾，你的人生经历也越来越滋润有味了。
完稿于2019年4月1日星期一
美国哈蒂斯堡
本文内容主要来自北京大学2019年5月出版的作者新书《南大数学七七级》中的第12章《怎样学习》。