初中数学压轴题解析:四边形综合问题

四边形综合问题

【典型例题1】2020年金华中考真题

本题摘自《初中数学典型题思路分析》的赠送电子资料.

如图,在平面直角坐标系中,正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上,分别过OBOC的中点DEAEAD的平行线,相交于点F,已知OB=8.

(1)求证:四边形AEFD为菱形.

(2)求四边形AEFD的面积.

(3)若点Px轴正半轴上(异于点D),点Qy轴上,平面内是否存在点G,使得以点APQG为顶点的四边形与四边形AEFD相似?若存在,求点P的坐标;若不存在,试说明理由.

【思路分析】

(1)根据邻边相等的四边形是菱形证明即可.

(2)连接DE,求出△ADE的面积即可解决问题.

(3)首先证明AK=3DK,①当AP为菱形的一边,点Q在x轴的上方,有图2,图3两种情形.②当AP为菱形的边,点Q在x轴的下方时,有图4,图5两种情形.③如图6中,当AP为菱形的对角线时,有图6一种情形.分别利用相似三角形的性质求解即可.

【答案解析】

(1)证明:如图1中,

∵AE∥DF,AD∥EF,

∴四边形AEFD是平行四边形,

∵四边形ABOC是正方形,

∴AC=AB=OC=OB,∠ACE=∠ABD=90°,

∵E,D分别是OC,OB的中点,

∴CE=BD,

∴△CAE≌△ABD(SAS),

∴AE=AD,

∴四边形AEFD是菱形.

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