最大容积问题
上海教育出版社出版《数学》高中一年级第一学期（试用本）P46，探究与实践课题一最大容积问题
有一块边长为1米的正方形硬纸板，在它的四个角各剪去一个小正方形，再折成一只无盖的盒子，如果要使制成的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长因为多少米？
解决这个问题。同学们首先不妨找一个纸板按要求做一做。我这里用“几何画板”做了个演示实验，如图。
图中下方的点是以小正方形边长x为横坐标，制作的盒子的容积V为纵坐标。当小正方形边长x变化（1<x<0.5）时，依次画出这些点，光滑连接后就得到函数V=x(1-2x)^2的图像。从图像上可大致看到V有最大值。
接着就要考虑如何来解决这个问题。
V可看作三个正数x、1-2x、1-2x 相乘，前面我们学会了两个正数和、积的最小值、最大值问题。那么三个正数是否也有类似结论呢？
回顾
我们知道左边是两个正数的算术平均数，右边是它们的几何平均数。这个不等式我们又叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。由此，我们是否可以猜想三个正数的算术平均数也不小于它们的几何平均数。而三个正数a、b、c的算术平均数为
几何平均数为
这样我们猜测有下面不等式成立
当且仅当a=b=c时等号成立
这个不等式成立吗？如果成立那么本问题就可以解决了。
证明方法有很多种（自己去问度娘），这里给出一种证明：
当且仅当a=b=c时等号成立
至此，我们的猜想获得了证明。再深入思考，那么对于n（n是大于等于2的整数）个正数的算术平均数应当也不小于它们的几何平均数。（证明方法问度娘）
回到原问题：
几何画板演示文件下载链接：
http://pan.baidu.com/s/1o8bEYnw
文件提取密码：wszz
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