2021黄浦一模25题解法分析

2021黄浦一模25题解题背景：

解法分析：本题的第1问是求“sin∠MCN的值”，由于M、N为动点，因此▲MCN的三边长度都是未知的，故而作垂线解三角形的解法难以实现，由此，联想将∠MCN进行角的转化.

解法分析：同第1问，由于无法直接求∠CNM的值，因此本题的第2问通过构造与△MCN全等的三角形，继而将∠CNM进行转化.如图3，构造全等三角形的关键就在于BC=CD，将▲BCM旋转至▲CDG的位置，构造了▲MCN≌▲GCN，即将∠CNM转化为∠CND.除了旋转▲BCM外，也可以旋转▲CDN，同样达到异曲同工之效.

解法分析：本题的第3问在于求“PQ:MN”的值，由于P、Q和M、N都是动点，因此直接求PQ或MN长度或用字母表示长度的方法均不可行，因此本题的落脚点就在于能否证明“▲CPQ∽▲CMN，将PQ:MN的值进行转化”.

方法小结：回顾本题的三个问题，问题的解决路径都是紧紧围绕着“半角”这一已知条件，本题的难点在于利用角的倍半关系，借助图形的旋转构造全等三角形，继而再分析构造后图形中线段、角的数量关系，再以全等和相似为工具，助力问题解决.

如图1，（4）试探索线段BM、DN和MN之间的数量关系；（5）在点M、N的运动过程中，设BM的长度为x，AN的长度为y，求y关于x的函数关系式.

解法分析：如图6，由原题中的第2问可知，▲BCM≌▲DCG及▲NCM≌▲NCG，得到DG=BM，MN=NG，即NG=DN+DG=DN+BM，即MN=DN+BM.

如图7，若用勾股定理或由第3问得到的相似三角形探索y关于x的函数关系式有些困难，因此本题可以借助面积法进行问题的解决.

方法小结：变式探究延用了相同的解题思路，综合运用了等积法、射影定理、A型基本图形这些常用的基本方法，从而将复杂问题拆分成若干个基本图形，从而使难题得以突破.除了上述的变式外，2021宝山一模25题第2/3问也涵盖了类似的题目背景.

→2021宝山一模25题解法分析

通过以上问题的解决，我们可以感受到上述问题的解决都是围绕着“半角”这一主线展开的.通过构造全等三角形，或构造相似三角形，达到角或线段的转化转化的目的，从而助力问题的解决.

与半角模型相关的其他变式练习→“半角模型”中的问题探究