吴文俊：数学教育弄不好，会引起许多灾难（下）
图1 吴文俊
我想有许多数学，现在兴旺一时，大家都还认为可以，但若要从历史长河来看，它究竟能够经历多久，就不好说了。以后的事情我没有预测，可是像位值制这种是经得起历史考验的，虽然它的重要意义不容易认识。没有进位制，没有位值制，计算机也造不出来，这个是严格的进位制而且是位值制。
我们再说中学，中学学的内容，首先是代数、关于代数的一些运算，然后是方程，主要是线性方程，还有排列组合、行列式等等，当然还有几何、三角。这个几何，我想是中学里最值得考虑的一个内容，中学的几何，过去欧几里得几何占了很大的内容，占了很长时间，主要学习欧几里德几何，然后还讲解析几何。我说，凡是学过欧几里得几何的人，大概都有这种体会，就是你要证明定理，就像解四则难题一样，是非常难的。你怎么添线，怎么转弯抹角，怎么经过严密的所谓逻辑推理，（这也像作四则难题，要用严密的逻辑推理），怎么用巧妙的思维等等，而且证明定理还可以训练脑筋（这也像作四则难题，也是训练脑筋），这是很难的，非常难的。可是，我们从机械化的角度来看，四则运算这一部分完全是机械的；四则难题要靠巧妙的奇招怪招才能做，就不是机械化的，可四则难题一变成代数就机械化了。到中学里边，做运算还有解线性方程这都是机械化的。
我说，在小学范围主要是中国的传统，是东方的数学，从内容上来讲，小学里边基本上是机械化的，就是四则难题是非机械化的。我刚才说过，四则难题这个东西应该即使不是完全取消，也只能保留一个很小的部分，这都是我个人的看法。在中学范围，也是很大一部分机械化，也是中国的传统，也是东方的数学，不是西方的数学。解线性方程，出现在中国两千年前的著作里，是地道的著作，是东方数学，是完全机械化的。在整个中学范围里，最不机械化的就是欧几里得几何这一部分。那么对欧几里得几何应该怎么看，我说明一下我的看法。我有点倾向于讲恩格斯的数量关系，数学研究数量关系与空间形式，简单讲，就是讲形与数。欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，纯粹在空间形式里去推理，或者是把数量关系归之于空间形式，或者干脆就排除掉数量关系，纯粹在空间形式间经过公理定理来进行逻辑推理，这是欧几里得体系。
另外一个体系刚好与之相反，是把空间形式化成数量关系来考虑的，那么这种考虑方式就是中国的传统，或者是像17世纪解析几何的作法，把空间形式变成数量关系，通过这些数量关系来计算等等，得出关于空间形式的种种结论。欧几里得体系是非机械化的，把空间形式化成数量关系是机械化的。至于机械化，我说首先应该是中国，你要翻开世界各国的许多数学史的书来，就会一口咬定中国是没有几何的——几何就是欧几里得几何。你要看看中国真正的数学史的话，就完全不是那么回事，它的几何内容不是欧几里得那样的几何内容。可是它是几何啊！而且它还有一个特点，就是把空间形式变成数量关系来处理，这个发明大概出现在公元前10世纪左右。
图2 未知数x
我国古代在10世纪、11世纪，引进了这种概念，叫做天元，后来又发展到地元等等。要从现代的符号讲，这就相当于引进了x、y等等，用x、y，用天元、地元来表示某一个几何的事实、几何的事物，那么几何事物之间的一些相互关系，就表示成天元、地元之间的一种方程或是x、y等等之间的一种方程，这个发明的重要意义几乎可以跟位值制相提并论。
位值制的发明使得一切计算都变成轻而易举了，也使得现代的计算机的机械化的制作有所依据。而天元、地元的引进，使得几何的代数化成为可能。从此以后，几何的研究就可以通过数量关系的研究来进行，我们现在老是盯住这个欧几里得几何死也不肯放，欧几里得怎么怎么了不起。我想欧几里得除了在中学这个角落占了这个阵地以外，到了大学就没有多少阵地了，我们一讲微分几何不是一来就是公式嘛，一来就是方程嘛，微分几何中所有的曲线曲面都要用方程来表达。光从曲线曲面的本身来考虑，当然可以根据许多奇招怪招做出许多漂亮东西来，可是我说你不能跑得远，更不能腾飞，就像对于四则难题一样，你对这方面也必须用代数来代替；同样对于几何，对于研究空间形式，你要真正腾飞，不通过数量关系，我想不出有什么好办法。
当然欧几里得几何漂亮的定理有的是，漂亮的证明也有的是。可是就算你陷在里面，你也跑不了多远。可以做出漂亮的东西来，可是我说要真正的腾飞呀，你不走这条路，我想不出你会有什么好办法。
在中国的传统数学中有许多这种几何的例子，怎么样把一个几何的问题通过代数化变成方程，解方程是中国的传统数学的一个传统课题。可以用这个解方程的方法来处理，这是中国的几何的处理的招，这跟欧几里得的处理方法截然相反。我不是完全否定欧几里得几何体系的处理方法，我们现在一讲古希腊的几何学，往往提到三大人物，欧几里得、阿基米德还有阿波罗尼。这个阿波罗尼最伟大的数学著作是什么呢？七卷的《圆锥曲线论》，就是用欧几里得的体系来考虑圆锥曲线，写了七大本。我想现在是不是还有人研究圆锥曲线要用这个方法呢？那还不是把圆锥曲线方程一写，然后再用数量关系来处理。我想不见得还有人会用欧几里得几何的处理办法来处理，你要用这种办法来考虑圆锥曲线，需用七大本书才能做出证明，别的曲线就更难了。所以这条道路，欧几里得的这条道路，本身是很有问题的。
图3 欧几里得几何
那欧几里得几何在中学里怎么会占据了这么大的一个领域呢？在整个中学范围内，它占据的地盘是相当大的。本来是东方数学的世界，中小学是东方数学的世界，可就是那个欧几里得几何，它占领了一个相当大的地盘。这里边有种种的原因，这个原因牵涉到许多数学史问题，我有许多不是很清楚，我想将来会弄清楚，它怎么会侵占这么大的地盘的。我说这个并不是要把欧几里得几何完全一笔勾销，这个我也不赞成，它是有许多值得考虑的地方，值得吸收的地方。不过用什么样的方式，应该吸收哪种东西、排除哪些东西，再吸收另外一些什么东西，这就需要从长计议了。我现在鼓吹的不一定就是对的了——现代化就是机械化，能够把这两者等同起来。这个等同是有问题的，你可以有不同的理解，完全不同的理解。
我说如果是要机械化的话，大学现在还谈不上。中小学本来应该是机械化的，不要把四则难题占的分量太多，完全不占也是不对的，这个可能都认识到了。可是对于欧几里得几何我看离开认识还很远。我并不是说完全不要，可是应该及早地，就像小学赶快离开四则难题引进代数一样，中学也是赶快离开欧几里得。用什么方式，引进到什么程度，这个从长计议，可基本上应该及早地引进解析几何。主要是没有解析几何，你微积分就没有了，大学数学课程教起来就困难了。几何就困难，微分几何怎么教啊？微分几何要是没有这个数量关系，没有一个空间曲线由三个方程来表示，曲面也由方程来表示，没有这一套你怎么弄！如果没有这一套，微分几何这个课程就教不起来，其他课程就更不用说了。既然认识到这个武器是有利的，作为数学教育，应该及早地把这种武器传授给下一代，我想教育的目的应该是这样。当然应该慎重行事。有的要取消，应该慎重考虑，是不是取消部分，或是不应该取消；添加进来的，是不是应该添加一部分，或者不应该添加？这都得慎重地考虑。我想，总的一个，当然非常简单明了，就是这样，四则难题让位于代数，欧氏几何让位于解析几何。这就是我的基本主张，至于怎么样具体处理，那是另外一回事。
比如说，欧几里得几何要讲证明定理，那我现在就来讲，怎样用解析几何来证明定理。过去在中学里也念解析几何，可是对证明定理有的书上仅仅稍微说几句，就没有了。之所以如此主要是解析几何把几何关系变成数量关系，这个数量关系不好处理，算起来麻烦。那个时候还没有计算机，现在有了计算机你也得有一套办法，你若没有办法取而代之，你就不能随随便便把那一个完全砍掉。
图4 吴文俊
下面我想讲一讲，怎样在中学范围里，通过解析几何，取代某一部分，至少某一部分欧几里得几何定理的证明。
……我刚才说过斯托罗克提出了东方数学的称谓。我在许多数学史的书上面都没有看到这种话，而在斯托罗克的书上看到了。他的书有许多问题，让人非常反感，可是这段话却非常精彩。他指出来，中小学里边的这个东方数学的味道，跟大学里边完全不一样，这就是机械化跟非机械化的区别。可是在中小学范围里边，即所谓东方数学的里边混进了一部分非东方数学的东西，我说这个局面也可改变。
我今天讲的这个东西是我多少年一直想讲的。在好些年前，至少是1983年或者更早，我就想在中学里边推行，可就是不敢。因为中学里边是不能随便进的，而且当时条件不具备，你要用计算机，可在中学里边根本不可能。我想，现在中学里边计算机是越来越普及了，而且计算机的发展非常神速，一个小型的PC机体积虽然很小，但比较高级的软件都可以放进去，高级语言也可以使用，所以客观条件已经具备。几何应该走这一条路——东方的道路，而不是走那一条非机械化的路。可是现在的中学不是那么回事，而且，有的人可能用种种形式还在推行，事实上还是在推行非机械化的东西，这是我非常不赞成的，本来在中小学，我是尽量避免卷进去的，可是我看到这种情况。一方面是正是时候，现在如果不做的话，将来也还是要做……，我说正是时候，也就是正是在中小学范围里边，真正推行东方色彩的时候。
图5 中学课堂
说到几何学，我还要说一句非常极端的话，我认为，中国的传统几何学才是真正的几何学，而绝不是欧几里得几何是真正的几何学，这是我的个人观点，是不能作为定论的。我们这个讨论班本来不是讨论这个问题，我这里只是插进来谈一下我个人的一些想法。
另一方面，至于具体怎么实行，大家是否考虑一下是不是自己具备这个条件，首先是对中学要有比较多的接触的，你真正在中学里边和教师、同学一起干的，而不是这样讲一次报告，说说就算数的。我说干就是要真干，真刀真枪地干，不是光说说而已，那要花很大的时间，而且这不是一个很简单的问题。我希望有的同志如果乐意、愿意，并且觉得可以做，值得做的话，我希望有同志能够推行这个事情。
注：本文转自公众号“和乐数学”