万能解题模型(一) 利用非负数的性质求解数、式问题

01

非负数性质的基本模型

02

非负数性质的基本模型的应用

6．已知代数式－2x²＋4x－11.

(1)用配方法说明无论x取何值，代数式的值总是负数．

(2)当x为何值时，代数式有最大值？最大值是多少？

解：(1)－2x²＋4x－11＝－2(x²－2x＋1)＋2－11＝－2(x－1)²－9.

∵(x－1)²≥0，

∴－2(x－1)²≤0.

∴－2(x－1)²－9＜0，即代数式－2x²＋4x－11的值总是负数．

(2)当x＝1时，代数式有最大值，最大值是－9.

7．(2020·河北)有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a²，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图．

如，第一次按键后，A，B两区分别显示：

(1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果．

(2)从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．

解：(1)A区显示的结果为25＋2a²，B区显示的结果为－16－6a.

(2)A，B两区代数式的和为25＋4a²＋(－16－12a)＝25＋4a²－16－12a＝4a²－12a＋9.

这个和不能为负数．

理由：∵4a²－12a＋9＝(2a－3)²≥0，

∴这个和不能为负数．

8．试说明：不论x，y取何值，代数式x²＋4y²－2x＋4y＋5的值总是正数．你能求出当x，y取何值时，这个代数式的值最小吗？

解：原式＝x²－2x＋1＋4y²＋4y＋1＋3＝(x－1)²＋(2y＋1)²＋3.

∵(x－1)²≥0，(2y＋1)²≥0，

∴(x－1)²＋(2y＋1)²＋3≥3.

∴不论x，y取何值，代数式x²＋4y²－2x＋4y＋5的值总是正数．

当x＝1，y＝－时，x²＋4y²－2x＋4y＋5有最小值，是3.