初中数学竞赛：相似、比例的运用

如图，矩形ABCD的对角线交点为O，已知∠DAC=60°，∠DAC的平分线与边DC交于点S，直线OS与AD相交于L，直线BL与AC交于M，求证：SM//LC；

根据题干中的条件，只有一个60°，再结合图形，肯定会感觉好难，但是难不难并不是凭感觉。

首先可以判断，辅助线是不需要了，

那么要证明SM//LC，很多同学可能会想到同位角相等，

也就是找到∠OSM或者∠OMS的度数即可，

但是这个寻找的过程却往往比较困难，

比如，不到它们挨着的那些角的度数，不就没办法求它们自己吗？

这里没有那么多的度数，所以要直接求角的度数肯定不容易，

那就不先不必去想这两个角的度数怎么求出来了。

我们先根据条件来往下探索，

∠CAD=60°，

还有角平分线，

那么可得∠DAS=∠SAC=∠ACS=30°，

进而可得AO⊥OS，而OA=OC，

所以△ACL为等边，

那么回到结论上，如果SM//LC，

那么可以得到什么？

除了同位角这些比较基础的，不是还有比例线段吗？

也就是OM：OC=OS：OL，

当然只要能够证出来这个比例，就可以推出平行了，

那么我们不妨来找找这个比例，

根据BC和AL的平行关系，

先来一组线段比例，

即MA：MC=ML：MB=AL：BC=2：1，

我们假设AD=a，那么OM其实可以得到了，

而OS别忘了OS=DS，

所以OS也可以轻松加愉快地搞定，

那么剩下的就是OC和OL的长度也很容易表示出来，

最后列出线段比例，来个夹角，

就出现相似了，

那么后面就不用多说了；