一种解决不等式恒成立问题的方法
不等式恒成立问题是导数大题永恒的主题, 主流的方法就是两种:分离参数法和分类讨论法.
今天讲一种奇特的方法------同构法!!!
那么什么是同构法呢?
Part1同构法
在导数大题中, 经常出现两种函数: 指数函数 和对数函数 . 他们俩有很多结构实际上是同一表达式, 比如: 和 , 这是两个不同的函数, 但是如果令
则第一个式子 就可以改写为这就和第二个式子 表示同一个函数了, 也就是说 和 是同构式.
同样的, 和 也是常见的同构式.
Part2常见的同构变形
Part3典型例题
1例题
对于任意实数 , 不等式 恒成立, 求 取值范围.
如果利用传统的分离参数法, 你会发现根本分离不了, 那么如何使用同构法来求解本题呢?
Solution
可以把
变形为即为了凑同构式, 要把两边同时乘以 , 即可得到这样目的就达成了!
什么?你没有看出来?那我再把上面的式子变形一下
可设
则上不等式变成剩下问题就是搞清楚 的单调性了!
所以 在 上单调递增, 于是
即
再令
则所以
于是
点评
初次接触这种方法的同学可能会有很多的问号, 怎么通过几次简单的变形, 就把一个复杂的恒成立问题转化成简单函数的最值问题?通过刚刚的例题, 你会发现关键问题在于找到同构式, 从而把问题转化为另一个简单函数的单调性问题!
所以记住
和 和
这两组同构式, 往上面去靠, 就会发现这个构造也不是那么难得想了.
2例题
已知函数 , 若不等式 在 上恒成立, 则实数 的取值范围为_____.
本题貌似可以分离变量来处理, 利用不等式
当且仅当 等号成立, 可以得到
可是右端函数的最值看上去不是那么容易得到, 所以分离变量是解决不了问题的.
Solution
依题意得
移项得
牢记两个同构式, 怎么构造就一目了然了.
即
构造函数
不等式变成
于是
<section role="presentation" data-formula="g" (x)="e^x-1" '="" data-formula-type="block-equation">
所以 在 上单调递增, 注意到在 上 , 所以
于是所以
点评
很多时候我们都希望一个分离变量解决问题, 但是更多时候不能分离变量, 即使能分离变量, 右边也是一个极其复杂的函数, 难以求解最值.
所以此类问题的常规做法基本是分类讨论, 但是很多同学一涉及到分类讨论就头大, 讨论半天把自己讨论晕了的现象层出不穷, 所以找机会, 我好好讲讲如何分类讨论.