剑指offer之剪绳子问题

1 问题

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段 (m和n都是整数，n>1并且m>1)每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m].
请问k[0] * k[1] …k[m]可能的最大乘积是多少？
例如，当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段，此时得到的最大乘积是18.

2 分析

1) 分析边界值

n和m题目说了，要求大于1，所以绳子长度最少为2，而且每段的长度不能小于1。

当n=2的时候，我们只有一种分割方法，就是中间切断，变成了1*1 = 1，所以当绳子长度为2的时候，切断数长度乘积最大值为1

当n=3的时候，我们有2种分割方法，就是1*1*1 =  1,然后就是1*2 = 2，所以当绳子长度为2的时候，切断数长度乘积最大值为2

当n=4的时候，我们有3种分割方法，就是1*1*1*1 =  1,然后就是1*2 *1 = 2，还有2 * 2 = 4，所以当绳子长度为2的时候，切断数长度乘积最大值为4；

当n=5的时候，我们有4种分割方法，就是1*1*1*1*1 =  1,然后就是1* 2 *1 * 1 = 2，还有2 * 2 * 1 = 4，还有1 * 3 * 1 = 3，还有2 * 3 = 6;所以当绳子长度为2的时候，切断数长度乘积最大值为6；

我们记最大值为f(n)为长度为n绳子剪成若干段的最大乘积，我们可以知道f(n) = max{f(i) * f(n - i)}, i ∈ {1,2...,n - 1},

f(n)的最优解对应着f(i)和f(n-i)的最优解，假如f(i)不是最优解，那么其最优解和f(n-i)乘积肯定大于f(n)的最优解，然后f(i)又可以看成f(n),大问题包含小问题，并且大问题的最优解包含着小问题的最优解，所以可以使用动态规划求解问题.

f(4) = max{f(1) * f(3), f(2) * f(2)} = 4;

f(5)= max{f(1) * f(4), f(2) * f(3)} = 6;

...

f(n) = max{f(1) * f(n -1), ... , f(i) * f(n - i), ... }; 由于具有对称性，所以这里的i的范围是  i ∈ {1, 2..., n / 2};

3 代码实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int maxCutting(int len)
{
    if (len <= 1)
    {
        return 0;
    }
    if (len == 2)
    {
        return 1;
    }
    if (len == 3)
    {
        return 2;
    }
    int *data = (int *)malloc(sizeof(int) * len + 1);
    if (data == NULL)
    {
        printf("malloc data fail\n");
        return 0;
    }
    data[0] = 0;
    data[1] = 1;
    data[2] = 2;
    data[3] = 3;
    int max;
    for (int i = 4; i <= len; ++i)
    {
        max = 0;
        for (int j = 1; j <= i / 2; ++j)
        {
            max = data[j] * data[i - j];
            if (data[i] < max)
            {
                data[i] = max;
            }
        }
        //printf("data[%d] is %d\n", i, data[i]);
    }
    return data[len];
    free(data);
    return 1;
}

int main(void)
{
    int result = maxCutting(8);
    if (!result)
    {
        printf("输入绳子长度不合法或者开辟数组内存失败\n");
        return -1;
    }
    printf("绳子长度为8的最大切割乘积值为%d", result);
return 0;
}

4 运行结果

绳子长度为8的最大切割乘积值为18

5 总结

大问题包含小问题，并且大问题的最优解包含着小问题的最优解，所以可以使用动态规划求解问题.动态规划我们可以理解成高中数学知识的数列关系，既迭代，我们最关键的是找到迭代关系，如上题f(n) = max(f(i) * f(n -1));