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本文作者: 宋宁，山东威海人，山东理工大学数学系教师，网名 蒜泥学数学。
第 3 章 希尔伯特的游戏规则
3.1 基本对象
自本章开始，本书将讲述“希尔伯特公理体系”．这个体系的完整阐述见于 1930 年出版的《几何基础（第七版）》．但是我不会建议任何非专业人士去读这本书（我同样不建议任何人去读欧几里得的《几何原本》）．因为：希尔伯特公理体系就像一栋大房子，而阅读 1930 年出版的《几何基础（第七版）》，相当于是你直接去看希尔伯特建好以后的房子．但是这个房子太大，太精细，如果你不是建筑师，那就很难体会到这栋大房子是如何一砖一瓦地建立起来的．我希望通过我的讲解，能让你体会这栋房子的“建设过程”．虽然这并不是真正的建设过程，但是能让你体会“公理化”这种重要的数学思想．即使我不懂建筑也知道：需要一些基本的材料吧，比如砖头、钢筋和水泥之类．这在我们的几何体系中叫基本对象．经过前两章的分析，你应该能体会到，我们这里的所需要的基本对象是点、直线和平面．有人说：要是我还想研究一下曲线呢？别急，我们先给自己定一个小目标，曲线和曲面的事可以以后再说．因为在一个体系中，基本对象不应该太多．如果基本对象太多，那么基本对象之间的关系就会太复杂，从而导致整个公理体系不够简洁．但是基本对象也不应该太少，比如意大利数学家皮亚诺所设计的几何体系中只有一个基本对象：点，另外还有一个基本概念：点的运动，这导致他的大多数公理都异常冗长，公理的数目也非常多．因此，基本对象既不能太多、也不能太少．以点、直线、平面作为基本对象是恰到好处的．它们本身都是不加定义的，而我们的几何大厦中的其他几何对象都将由它们定义出来．为了叙述方便，我们约定：使用大写拉丁字母（如 等）表示点；使用小写拉丁字母（如 等）表示直线；使用小写希腊字母（如 等）表示平面．
3.2 基本关系
要盖房子的话，只有砖头、钢筋和水泥肯定不够，我们还要考虑如何将它们组织起来．也就是说，除了基本对象点、直线和平面之外，我们还要考虑它们的关系是什么样的．在所有的关系当中，我们挑出三种最基础的关系，分别是关联、介于和合同——很诡异的名字是不是？别害怕，我们后面慢慢聊．我们称这三种关系是基本关系．它们本身不加定义，而其他的所有关系都将由它们给出定义．为了刻画这三种基本关系，希尔伯特分别给每一种关系设计了一组公理．用来刻画关联关系的公理组叫做关联公理，原著中有八条；用来刻画介于关系的公理组叫做顺序公理，原著中有四条公理；用来刻画合同关系的公里组叫合同公理，原著中有五条公理．说了这么多，你肯定要问：关联、介于、合同，这些究竟是什么呀？你忘了，它们是基本概念，是无定义的．感觉有点不适应？想想点和直线，我们一样没定义，我们还是照样用的．先说说关联关系．它是点和直线之间、点和平面之间的关系．我先不解释它是什么，让我们先看看关联公理中的两条：
- 公理 I.1 对任意两点，总是存在一条直线与这两点都关联．
- 公理 I.2 对任意两点，至多存在一条直线与这两点都关联．
读过这两条公理之后，你应该能发现：点和直线的关联关系，其实相当于我们直观上理解的“点在直线上”和“直线经过点”．如果我们按照中学的习惯把 “点和直线相关联”叫做“点在直线上”，那么这两条公理其实相当于中学所学的：
这句话并没有出现在欧几里得的《几何原本》中，可见，我们中学所学的欧氏几何其实并没有使用欧几里得的公理体系，它实际使用了一个“简配版”的希尔伯特体系！这里先给大家尝个鲜，我们将在第四章详细讨论关联关系和关联公理．下面再聊聊介于关系，这种关系是三点之间的一种关系，它被四条顺序公理予以刻画．要理解这种关系，我们还是拿顺序公理的两条来看看吧．
- 公理 II.1 如果点 介于 和 之间，那么 , , 关联于同一直线， 并且 也介于 和 之间．
- 公理 II.2 对任意两点 和 ，直线 和 上至少存在一点 ，使得 介于 和 之间．
从这两条公理上，我们可以看出，介于关系实际上是在描述在同一直线上的 三个点之间的顺序关系．比如直线 上有三个点 ，设它们出现的顺序恰好是 ，那么 就是介于 和 之间的．当然你可能要说：这不是废话吗？不是！如果不对介于关系使用公理进行刻画，那么你在实际证明几何问题时，很可能会依赖直观体验，从而得到不严格的证明．高斯曾经在一封给朋友的信中就明确说，欧几里得的《几何原本》中根本没有对介于关系进行刻画，这导致了一些似是而非、依据不足的证明．最早对介于关系和顺序公理进行严密刻画的人是德国数学家帕施，希尔伯特的体系中的顺序公理其实很大程度上来自帕施．我们将在第五章详细讨论介于关系和顺序公理．最后一个基本关系是合同关系．这个名字实在是过于怪异了， 它译自“congruence”．“合同”这个翻译是现在数学界比较认可也比较习惯的一个翻译，实际上“合同”这个词也经常出现在其他数学分支中．当然啦，在几何里，这个词的本意肯定不是商业意义上的“合同”．在几何里，你不妨将“合同”二字拆 开理解：“合”，就是重合；“同”就是相同．直观来看就是说：对于甲、乙两个几 何对象而言，我让甲运动到一个合适的位置，使得它与乙“重合”，那么从这个意义上讲，二者是“相同”的，于是我说甲乙是合同的．这句话是在给合同关系下定义吗？不是，这并不是严格定义，这只是直观上的解释．因为“运动”没给定义．又有朋友有疑问了，这不就是说三角形的全等吗？对，它们确实差不多，只是“合同”更宽泛．合同关系还可以是线段和线段之间的，也可以是角和角之间的．比如我们看合同公理中的两条：
- 公理 III.1 设 是直线 上两点， 是直线 上一点，那么在直线 上恒有一点 ，使得线段 和 合同，记作 ．
又有人要说了：“这不就是线段长度相等吗？”你要这么说的话，那么长度怎么定义呢？你可能又要说了：“那么两个线段合同与两个线段相同是一回事吗？”也不太一样，因为如果你说两个线段相同，那么你相当于说这两个线段是同一个线段．为了避免这些问题，希尔伯特会说我们需要合同．而关于合同关系和合同公理的相关内容，我们将在第六章详细讨论．除了这三组公理，希尔伯特体系还有两组公理，分别是连续公理和平行公理，它们将分别在第七章和第八章介绍．连续公理要解决什么问题呢？比如我们在做尺规作图时，会用圆规作弧使之与一条直线相交．但是问题是，我们这里似乎默认了直线和圆弧都是连续不断的，否则为什么会相交呢？这就需要连续公理上场了，这个公里组中有两条公理，其中一条就是我们之前聊过的阿基米德公理（见 2.3 节 修修补补两千年）．最后一个公理组中只有一个公理，那就是大名鼎鼎的“平行公理”．如果从希尔伯特公理体系中删除平行公理，所得到的几何学通常称为绝对几何．绝对几何是欧氏几何和非欧几何的公共部分．如果进一步承认了平行公理就得到了完整的欧氏几何；如果以某种方式否定它就得到了相应的非欧几何．
3.3 希尔伯特的原则
我在初中刚学平面几何的时候曾经想：反正公理是不用证明的，那么我们能 不能把那些看起来很可能是对的、但很难证明的命题直接升级成公理从而加入公理集当中呢？事实证明，我是个有点小歪才的人，但是面对大牛的时候也只能甘拜下风．为了防着这一手，希尔伯特早有准备．他给公理体系的设计提出三条原则，那就是：
相容性，就是说体系内的公理、定理、推论之间不能有矛盾．由于定理和推论总是直接或间接由公理推导出的．所以这一条本质上就是公理之间不能相互矛盾．比如说，我们之前在聊不可公度线段的时候（见 1.2 节 不懂几何者不得入内），可能你会有疑问：既然毕达哥拉斯学派相信不存在不可公度线段，那么是不是可以把这一条看作是这个学派的一条公理呢？不行！因为这一条会与该学派所承认的毕达哥拉斯定理（勾股定理）或者面积论相矛盾（见 1.2 节中的反证）．所有的公理体系必须满足相容性，这是最基本的．所以像我小时候脑洞大开的那个想法会很危险，一旦我们把某个命题提升成公理，那么首先要小心有没有破坏相容性．如果没有破坏相容性是不是就 OK 了呢？未必！于是第二条原则闪亮登场：独立性，就是说任意公理之间是相互独立的，一条公理不应该能用其他公理证明出来；否则它就没有作为公理的地位，而只能作为定理或者推论．比如我随 便把某个命题提升成公理，即使它不与其他公理有矛盾，但是万一它能用别的公 理证明，那它就失去了公理的地位．事实上，著名的欧几里得“第五公设”问题就是这么来的．欧几里得在《几何原本》中搞了五条公理和五条公设，大部分都非常简洁，但是第五条公设，也就是我们现在所称的“平行公理”，却是个例外（见 2.2 节 《几何原本》是这样的）．所以就有古希腊文明后期的学者以及很多阿拉伯学者对第五公设的独立性提出疑问，怀疑它可以由其他公理/公设给出证明．而且很多阿拉伯数学家以及文艺复兴后的欧洲数学家确实尝试证明它，但是事后发现，这些证明都是循环论证，没有实际意义（“循环论证”见 2.2 节 《几何原本》是这样的）．再后来，有人提出要不要反其道而行之：否定第五公设看看能不能得到矛盾？结果表明，万事 OK，于是非欧几何诞生了．我将在以后的另外一册笔记中讨论非欧几何的内容，现在我们还是回到希尔伯特的三条原则．虽然有人认为独立性原则不是必不可少的，但是数学界还是很重视这条原则的，有人还会换个说法，即“公理集的极小性”．争议比较大的其实是第三条原则：完备性．完备性，就是说在一个公理体系中，任何一个命题要么能被证明是真的，要么能被证明是假的。通俗地说，就是这个公理体系中的公理要足够多，比如欧氏几何的希尔伯特公理体系，这个体系应该有充足的公理以至于能推导出欧氏几何本来应该有的东西．相比之下，欧几里得原来的体系就做不到这一点，他的公理/公设太少啦（见 2.2 节 《几何原本》是这样的）．希尔伯特曾经希望建立一个最完美的公理体系将所有的数学囊括其中，但是哥德尔不完备性定理打破了他的梦想。实际上，现代数学中，已经不太强调完备性了，因为太多的公理体系是不能具备完备性的。当然，讨论希尔伯特公理体系的完备性，需要涉及到数理逻辑和模型论。这已经超出了本书的范围和本人的能力了．
3.4 我们的原则
本书将会探讨某个具体的几何问题吗？不！与其说我们在研讨几何学的问题，不如说我们其实在玩一个游戏．有一个游戏叫《我的世界》（Minecraft），在这个游戏里你可以使用各种工具和材料，白手起家建造一个属于你想象中的世界．从下一章开始，你将随我一起构建一个世界，不妨就把它叫作欧氏几何空间 吧．这个世界存在于我们的脑中，初始材料是三个基本对象和三个基本关系；我们将为这个世界设计运行的法则，也就是公理；公理的设计依照希尔伯特的三条原则；同时，因为欧氏几何是抽象自我们的现实世界，所以我们还希望欧氏几何空间尽可能接近于我们所熟悉的现实世界．另一方面，熟悉《我的世界》的朋友都知道，在这个游戏中，晚上会有怪兽出没．我们的欧氏几何空间里也有怪兽，最可怕的怪兽有两个：一个怪兽是直观臆想，为了克服这个问题，在我们的世界中，各个命题之间必须以严密的逻辑推理和数学证明来联系，所有的定理和推论必须要有证明，除非它们过于简单；另一个怪兽是循环论证，为了避免这种错误，我们规定：当我们对某个命题进行证明时，所用的依据只能是三种情况：已经出现的公理、已经给出的定义和已经证明的定理、推论．在我们即将构建的欧氏几何空间中，基本概念（三个）和基本关系（三个）合称基本概念，我们将使用五组公理对它们进行刻画．为了叙述和阅读的方便，我会将希尔伯特的二十条公理稍作拆分，并且尽量避免使用你们所陌生的术语， 例如“关联”、“介于”以及“合同”．为了解释这些公理的功能，我们还会使用这些公理证明一些定理和推论．为了体现希尔伯特体系的逻辑性和结构性，我们规定从第四章开始，本书遵循如下约定：
- 除了六个基本概念外，每个概念的定义只能使用自第四章起已有的概念；
- 除了公理之外，每个命题都要证明（除非它过于简单）；
- 证明的依据只能是自第四章起已经出现的公理、已经给出的定义和已经证明的定理、推论；
- 如果你在阅读某个定理证明时认为它是显然的，那么你要小心自己是不是犯了主观臆断的毛病；
- 最后一条：凡是我们提到“两点”、“两直线”、“两平面”等，都是特指这两个几何对象是不同的，其他数字的情况类似．
从下一章开始可能就有朋友会感觉枯燥了，但是如果耐着性子读下去，也许也会有不一样的收获．至少可以吹吹牛嘛：朋友，知道希尔伯特吗，可别说你只知道欧几里得呦，来来来，我给你说说关联公理……(第四章待续)
目录:
第一章 破晓：在欧几里得之前
第二章 伟大的体系：《几何原本》
▲ 数学应该这样学 你不可不知的数学中关于度量故事
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