【名师特辑】相似变换：“一转成双”

本文以中考题为例来探索一种相当常用的相似（全等）构造，从多种构造方法中体会此种构造的本质特征和思考方法。

一、探索规律：相似变换，一转成双。

1.如图，ΔADE∽ΔABC，若把ΔADE绕点A旋转，出现新的ΔABD和ΔACE有什么关系？

由ΔADE∽ΔABC得AD：AE=AB：AC，∠BAD=∠CAE，易证ΔABD∽ΔACE。

可以发现：新得的ΔABD与ΔACE是由原来的一对相似形ΔADE与ΔABC中对应边AB与AD、AC与AE组合而得，如果在复杂的图形中可以由这一线索寻找新的相似形，即一转成双，由一得二（由一对相似三角形得两对相似三角形）。

当原来的一对三角形是以公共点为顶点的等腰三角形时，则会出现全等三角形（因为对应边为两腰比为1：1）。即为很多问题中常见的双等腰模型，以等边三角形和等腰直角三角形为多见。

我们用动态视角来看图形的构造过程和方法，先观察动图。

图形可以看成ΔABD旋转并缩放得ΔACE，旋转角为∠BAC，缩放比为AC：AB。

图形还可以看成ΔADE旋转并缩放得ΔABC，旋转角为∠BAD，缩放比为AB：AD。

一对共顶点的相似三角形绕共用顶点旋转可得另一对相似三角形，简称：“一转成双”。

二、应用规律：运用之妙，存乎一心。

例题.（江苏淮安2017中考第27题）

【操作发现】

如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．

（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；

（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=         ．

【问题解决】

如图②，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．

小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：

想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；

想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．

…

请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）

【灵活运用】

如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．

操作发现部分略过，我们看后面的2个问题就是用旋转变换来构造相似。构造方法如下：

图②的构造方法是把△ABP、△ACP、△BCP其中任意一个绕任意一个顶点旋转缩放，使其一边与另外的线段重合。如下图，把△ABP绕点A逆时针旋转缩放，使其AP边与AC重合，由“一转成双”同时可得△ACP与△AQB相似，所以亦可以看成△ACP绕点A顺时针方向旋转缩放得△ABQ。

解法简示如下：

再如，把△ABP绕点P顺时针方向旋转缩放得△CQP，同时得ΔBPQ∽ΔAPC，简解如下图。

与前面类似，还有10种构造方法如下，具体解答方法与前面类似，读者自行尝试。

上面一共12种构造方法的实质是一致的，即构造出两对相似三角形，并且产生一个新的特殊直角三角形（含30度角），由此产生丰富的联系。

其中，比较简单的是（1）、（2）、（5）、（6）、（9）、（10），因为此时有特殊的三角形（一对等边三角形和一对全等三角形）。

图③的构造方法与图②类似，图形与部分简解如下。

我们探索各种构造方法不是为了展示解法的数量，而是由此我们可以对问题及方法的本质有更深入的认识、更宏观的把握。

上面各种构造图形中都产生了双相似三角形及一个直角三角形，可以发现，用旋转变换构造相似形的作用是把分散的边角条件集中到特殊图形中，以使其产生联系。