杨易程《中考数学考点50讲（一）》：实数基础知识

高级中学数学教师，国家级奥数教练员杨易程《中考数学考点50讲》，突出初中数学的实战性，紧紧围绕中考数学的必考知识点、规律，诠释和梳理中考数学核心知识，形成对考点知识的二次提炼与升华。结合中考数学的经典题和真题，阐明解题方法，归纳解题规律。在讲解中考数学，适当增加一些初中数学奥赛的知识和题目，树立中考生以从容心态应对中考数学试卷。力争使考生在学习了本整套视频后，对中考真题的常考点、难点和解题方法有所深刻理解，对提高考生的中考分数有所帮助。

参考书目如下: ①初中数学（人教版/部编本）；②杨易程《中考数学培优教程》.国际科学技术出版社.2021；③初中数学教材(思维导图和基础知识手册)；④初中数学奥林匹克竞赛(全国联赛卷和省市精华卷)和数学奥林匹克小丛书(初中卷)八本；⑤各地中考数学真题和部分校试卷。

初中数学导图涵盖了初中数学的所有知识点,学生可以把思维导图默画下来，有助于学生建立系统数学观，举纲目张，利于学生的复习和学习。

人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的，数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数，在引入无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张.

实数（通俗讲就是实在的数real number ）是相对于虚数的一个数的集合.实数是有理数和无理数的总称。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。实数是有理数和无理数的总称，通常用黑正体字母R表示。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

实数性质：①封闭性：实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。②有序性：实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：a<b,a=b,a>b。③传递性：实数大小具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c。

实数中的几个概念：

（1）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。①实数a的相反数是-a；（2）a和b互为相反数a+b=0。（|a|＝|b|，0的相反数是0）。相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．

（2）倒数：①实数a（a≠0）的倒数是1/a；②)a和b互为倒数⇔ab＝1；③注意0没有倒数。

（3）绝对值：绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用．理解、掌握绝对值应注意以下几个方面①一个数a 的绝对值有以下三种情况：②实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。③去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。④从数轴上看表示数的点到原点的距离；表示数、数的两点间的距离．灵活运用绝对值的基本性质；；；

（4）n次方根：①平方根，算术平方根：设a≥0，称叫a的平方根，叫a的算术平方根。②正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。③立方根：叫实数a的立方根。④一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。

（5）数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线，叫做数轴。实数和数轴上的点是一一对应的．