神奇的常数e——其超越性的证明

欧拉数e是一个数学常数~2.718，定义如下：

  • 式1：欧拉数e的定义

这个常数是由瑞士数学家雅各布·伯努利发现的。

  • 式2：唯一一个等于它自己的导数的函数。

称为指数函数，它等于它自己的导数(它是唯一具有这个性质的函数)。

  • 图1：方程y = 1/x的曲线图。欧拉数e是使阴影区域面积等于1的唯一数字。

超越数

实数可以是代数的也可以是超越的。根据定义，阶数为n的代数满足具有整数系数的多项式方程，例如：

  • 式：:带积分系数的多项式方程。它由代数数来满足。

代数数的次数为n的事实意味着x的系数不为零。超越数是不满足如式3这样的方程的实数。

e的超越

我们这篇文章的目的是证明e是一个超越数。这个证明的最初版本是由法国数学家查尔斯·埃尔米特提供的，但是这里给出的版本是由德国数学家大卫·希尔伯特简化的版本。

  • 图2：法国数学家查尔斯·埃尔米特和德国数学家大卫·希尔伯特。

我们首先假设与我们要证明的相反，即e是n次的代数数：

  • 式4：如果e是n次的代数数，它满足这个方程，其中第一个系数和最后一个系数为a，且非零。

我们开始用有理数来逼近e的幂。我们定义了以下对象：

  • 式5:用有理数逼近e的幂。

这里

  • 对于等式5中e的每个幂，我们有:

  • 对于很小的方程意味着所有e^t非常接近有理数。现在我们将式5代入式4，并消去因子m，我们得到：

  • 式6:将式(5)代入式(4)的结果

注意，式(4)和式(6)中的n是相同的量。式 6有两个明显的特点：

第一个括号内的表达式是整数，并且选择M使得表达式不为零在第二个表达式中，将选择，使其足够小，以使表达式的绝对值<1

  • 式7：式6第二项的性质。

我们的证明将包括证明式6不可能是正确的，它构成了一个矛盾。发生这种情况是因为非零整数和绝对值<1的表达式的和不会消失。

定义M和

埃尔米特通过定义M和开始，首先，他将M定义为:

  • 式8：定义M的积分。

这里p被选为质数，以后再确定。' p可以看作是我们想要一样大(但M将任何值的整数p)。其他的M和被定义为：

  • 式9

现在我们通过选择p来满足上面的性质1和2。

我们先求积分M，把分子中的二项式乘出来，我们可以得到下面的等式：

  • 式10：将等式两边的二项式相乘

具有积分系数。将此替换为M并使用：

方程11:阶乘m的积分表达式。我们得到

  • 式12

将自己限制为大于n的素数，我们立即看到该方程式的第一项不能被p整除。但是，我们可以很快看到第二个项可以。扩展阶乘：

  • 式13：方程12的第二项可以被p整除。

因为M不能被p整除，所以方程6的第一个括号也不能被p整除。引入变量y：

积分就变成：

分子括号内的多项式有整项系数

经过几个步骤，我们得到：

对于整数cs(其中使用了式 11)。每一个M(k)是能被p整除的整数，所以式6的第一个括号不能被p整除。因此，我们得出结论，式6的第一个括号中的项是一个非零整数。如果它是0，它可以被p整除，我们得出结论是：它不是0。

最后一部分是证明如果我们选择一个足够大的p值，则式7是正确的。使用式 9，经过几个步骤，我们发现：

如果这个二项式乘积的绝对值对于x∈[0,n]有一个上界B，则有：

当p→∞时，RHS→0，证明成立。

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