量子纠缠背后的故事（45）：贝尔的不等式
作者：程鹗
双胞胎难分彼此的容貌、举止和相互间的默契总是让人由衷感叹。更令人惊奇的是双胞胎的相似并不都是因为有着一起长大的经历。有些双胞胎出生后被分开，在不同的环境下各自成长，多年后他们相遇时也赫然发现两人有着很多共同之处。
双胞胎——尤其是同卵双胞胎，他们携带着相同的基因，除了身材、长相难分彼此之外，在穿着打扮、体育兴趣，饮食嗜好、职业以及生活伴侣选择等方面也可能有着相同的性格特性。
假如是某个基因促使一个人喜欢足球，那么同为双胞胎的两人都热衷足球便不足为奇，纵使他们的生活环境有着天壤之别。作为论据，这是一个历史悠久的辩论——人类的行为是来自先天的基因因素还是后天的环境影响，即所谓的“自然或养育”（nature vs nurture）之争。
喜欢足球是一个生活细节，更大的可能与基因无关，是一种社会性的感染，或者不过是纯粹心血来潮。这样的话，互为隔绝的双胞胎会同样地为足球着迷便显得有些诡异。在心理学家荣格、作家辛克莱的眼里，那显然会是“共时性”心灵感应的表现：当双胞胎之一喜欢上足球时，另外那个也会自觉或不自觉地产生共鸣，同样地喜欢上足球。尽管两人可能相距十万八千里，甚至完全不知道对方的存在。
1964年，当贝尔在美国进行学术访问，终于有机会静下心来考虑从冯·诺伊曼证明到玻姆的隐变量以及爱因斯坦的质疑时，他意识到量子力学中的神秘联系也需要鉴别“自然或养育”的不同因素。那便是所谓的局域性与非局域性之争。
在爱因斯坦、波多尔斯基、罗森合作的EPR论文中，他们描述了一个简单的假想试验：因为相互作用而有了共同波函数的两颗电子彼此分开后相隔万里。在被测量之前，它们都不具备位置或速度这样的经典物理性质。当其中一颗电子遭遇某个测量仪器时，它会突然地有了确切的位置或速度——至于有了这两个物理量中的哪一个则取决于测量方式的选择。在那同一时刻，另外的一颗电子也相应地具备了确切的位置或速度。它不仅瞬时地“知道”万里之外那颗电子被测量，而且还“知道”具体被测量的是哪一个物理量。
这类似于一对双胞胎中的一个看到足球而当即喜欢上时，对他毫不知情的另一个兄弟也同时喜欢上了足球，而不是篮球或排球。如果喜欢足球是一个后天“养育”形成的情感，那么他们必须通过某种交流才能做到步调一致。在双胞胎不可能作弊的前提下，他们只能靠神秘的心灵感应。
爱因斯坦和他的EPR论文合作者承认量子力学中也许会存在这样的可能。但他们更指出，如果发生测量事件的信息是在当时从一个电子传递到另一个电子，那么这个信息传输的速度超过光速，违反了狭义相对论。或者说，那是一种鬼魅般的超距作用，违反了局域性的因果联系。
虽然爱因斯坦对辛克莱那些人描述、表演的心灵感应相当好奇，也保留着一定的开放心态，但他在自己的专业领域中仍坚定不移地守护着自古希腊而来的传统底线：物理学研究的是客观、现实的世界，容不得神秘、超自然的联系。那海面上突然恶浪滔天只能是因为当地起了大风，而不会是海神波塞多隔着大洋在咆哮。
因此，他们更倾向于另一个可能：两个电子当初在相互作用的纠缠过程中达成了某种“协议”或者是获取了某种“指令”。彼此飞离后，它们各自都还携带着同样的协议或指令。在遇到测量仪器时，它们不过是按照既定的协议、指令行事，表现出似乎是协调一致的行为。由于对这样的协议或指令是什么、如何作用等我们一无所知，所以爱因斯坦认为量子力学对客观世界的描述还没有完备，有着深刻的欠缺。那神秘未知的、具备决定性意义的协议、指令就是其中还深藏着的隐变量。
上面所谓的协议、指令，相当于双胞胎身上所携带的基因。他们先天“自然”地决定着双胞胎（可看作是电子）分开后的行为，也就是决定了兄弟俩都会喜欢上足球，无需临时再互相联络统一口径。这样的量子力学虽然尚未完备，但毕竟不会违反相对论，也符合传统的因果关系。它避免了鬼魅般的超距作用。
在EPR论文中，他们只是象征性地提出他们的假想试验背后存在着不完备或非局域——即“自然或养育”这两个不同的可能性。同时，他们又指出后者显然不可接受，唯一的结论只能是量子力学还不完备。爱因斯坦坚信传统、局域的因果律，认定它是所有科学逻辑能够存在的前提，量子力学也不例外。所以，在非局域和不完备之间，他毫不犹豫地选择了按后者理解量子力学。
贝尔是在看到玻姆发表的早已被冯·诺伊曼判决为“不可能”的隐变量理论后才重新唤醒对量子力学这一基础问题的兴趣。在玻姆的动力学中，粒子时刻有着确定的位置和速度。但这样的粒子轨迹只是数学表述，无法在现实中直接观测，故而属于隐变量。在玻姆的理论中，粒子运动过程中会受到一个附加的“量子势”作用，它来自与其它粒子共享着的波函数。
这样，EPR假想试验中的两个电子虽然在现实空间相距甚远，但它们在玻姆的描述中却并没有完全分离，依然通过量子势有着瞬时的联络，如同双胞胎之间时刻存在着心灵感应。
早在新量子力学诞生之前，爱因斯坦就在自己发明的“鬼场”中遭遇这样的“不可分离性”。那时，他试图以鬼场作为引导电子行为的隐变量，但随后不得不撤回已经付印的论文。作为古希腊哲人的承继者，爱因斯坦相信只有在可分离的前提下才能言及因果关系，才可能有科学逻辑。因此，对随后出现的薛定谔波函数、德布罗意导航波以及玻姆量子势，他同样都持怀疑态度，乃至指责玻姆20多年后的复辟企图“过于廉价”。
在爱因斯坦看来，量子力学的隐变量只能像双胞胎身上携带着的基因一样，与微观粒子如影随形，在其所在的地点局域性地起作用。唯如此才能保证科学的因果律。他在后半生锲而不舍地研究统一场论，试图从中寻找这类隐变量的蛛丝马迹，但他的所有尝试均以失败告终。
贝尔的思想与爱因斯坦一脉相承。他对玻姆动力学中的非局域性也同样感到不可思议：宇宙中任何地方一块磁铁的挪动都会导致所有粒子的运动轨迹瞬时改变。然而其实质与正统量子力学（哥本哈根诠释）完全等价，可以计算出同样的结果。
在发现冯·诺伊曼关于量子力学中不可能存在隐变量的证明并不成立之后，贝尔花费了大量的功夫寻求局域性的隐变量，以取代那不合常理的德布罗意、玻姆理论。与爱因斯坦一样，他也是屡屡碰壁，不得要领。
但与爱因斯坦自始至终坚定不移的态度不同，贝尔开始怀疑这样的努力是否命中注定地会徒劳无功。在美国的斯坦福直线加速器实验室，他一边继续研究他的加速器本行，一边再次仔细推敲冯·诺伊曼30多年前的证明过程。他发现如果摒弃冯·诺伊曼那个不必要的假设，原先的结论也并非完全一无是处。量子力学虽然没有一概地排斥隐变量，却也的确不允许爱因斯坦所坚持的局域性隐变量。
如此看来，如果隐变量能够在量子力学中存在，那么它就必须是非局域性的。正是因为有这样的理论判据，德布罗意和玻姆能够相继成功而爱因斯坦与贝尔却只能是无疾而终。
在斯坦福，贝尔将他的思考写成一篇《关于量子力学隐变量问题》（On the Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics）的论文，系统地回顾、评论了自冯·诺伊曼以来的理论研究。尽管其中有他自己的新发现，贝尔觉得这基本上还是一篇综述，就向专门发表综述论文的《现代物理评论》投了稿。很快，他接到好消息。论文通过了评审，审稿者只是提议他再增加一点讨论具体测量过程的内容（这位匿名的审稿者很可能就是玻姆）。贝尔不愿意节外生枝，只在文中增添了一个解释：测量过程过于复杂，不在这篇论文中讨论。随后，他把修改稿寄回杂志社。
在那之后，他才开始认真考虑审稿者的建议。如果量子力学中不允许局域性的隐变量，哪是否真的会有被允许的非局域性隐变量？那曾令爱因斯坦忧心忡忡的鬼魅般超距作用真的会存在吗？该如何通过实际测量才能予以确证。
当一个人喜欢足球时，我们无法知道他是由基因决定还是一时的兴志所至。如果他的双胞胎兄弟也喜欢上了足球，我们更无法判断那是因为他们有着共同的基因还是他们之间发生了不自觉的心灵感应。而心灵感应是神秘未知的特异功能，我们没有办法进行物理阻断、屏蔽其效果的验证。
要实际地区分这两个不同的作用因素，贝尔意识到必须想办法找出一个单靠基因——或任何局域性的隐变量——无法产生的效果。如果真有那样的现象存在，就可以证明量子力学中存在着非局域性。
设想我们有很多对双胞胎可以一对一对地盘问。每一对双胞胎中的兄弟或姐妹俩都各自回答一个简单的问题：“你喜欢足球吗”或“你喜欢篮球吗”或“哪喜欢排球吗”。约定他（她）们只能回答“喜欢”或“不喜欢”。
如果同为双胞胎的两人凑巧被问到同一个问题，他（她）们的答案应该会相同：都喜欢足球，或者都不喜欢排球。这个结果不能体现他（她）们是如何达成一致意见的，意味着无论是基因还是心灵感应，都会产生这种同样的效果。即对双胞胎的测试调查只会知道他们都喜欢足球，或者他们都不喜欢排球。
当两个人分别被问到不同的问题时，我们就有了两个答案：双胞胎中的一个喜欢足球，一个不喜欢排球；或者一个不喜欢篮球，一个喜欢足球；如此等等。
当大量的双胞胎经过这个程序后，我们可以做一些统计分析。在这些数据里面，应该存在一些简单的关系。比如：“一个喜欢足球一个喜欢篮球的双胞胎总数”不会多于“一个喜欢足球一个喜欢排球的双胞胎”+“一个不喜欢排球一个喜欢篮球的双胞胎”的和。
这是一个有点弯弯绕的莫名其妙的关系，但其逻辑关系很简单。因为在最前面第一项一个喜欢足球一个喜欢篮球的双胞胎中，如果他们也喜欢排球就会被包括在后面第二项里。反之，如果他们不喜欢排球则会包括在第三项里。所以，后面两项之和会大于或至少等于最前面的第一项的总数。
当然，实验中每次问答时应对的都是不同的双胞胎。每一对双胞胎只在上面其中一项中被计数。但在有大量双胞胎的样本统计中，上面这个关系仍然会严格成立。即使他们在不守规则地随意胡乱回答，统计结果在呈现出强烈随机性的同时依然会满足这一关系。如果采集到的数据违反了这一关系，那么双胞胎们肯定是在利用心灵感应或其它什么作弊手段互相联络、“串供”，干扰了统计规律。
贝尔之所以对这么一个别别扭扭的关系发生了兴趣，便是因为他石破天惊地发现这个不等式——即“贝尔不等式”——在量子力学中不成立。
1982年时的贝尔。黑板上方是他8年前发现的不等式，下面是相应实验设计示意图.
在玻姆版的EPR假想试验中，电子被测量的物理量不再是位置或速度，而是它们的自旋方向。因为两颗电子分离前的总角动量为零，它们的自旋方向会相反。如果其中一颗电子的自旋向上，另一颗的自旋则必定会向下。这也是一种如同双胞胎式的默契。
如同位置、速度一样，电子在被测量之前并没有确定的自旋方向，它的自旋处于由各个可能的本征态组成的叠加态上。在三维空间中，电子的自旋有着三个互为独立的方向。比如左右、前后、上下（在解析几何中，这三个方向通常分别标识为x、y、z）。如果电子的自旋态因为测量在上下方向发生坍缩，有了一个确定的指向时，它的自旋态在左右、前后方向上依然会处于原先的叠加态。
在每一个方向上，电子的自旋都只有两个分立的本征态：向上或向下；向左或向右；向前或向后——其中之一。
贝尔基于这种思考设计出一个与双胞胎如出一辙的实验：将纠缠着的电子对分开，分别对每颗电子的自旋在某个的方向上进行测量。电子自旋的三个独立方向正好可以对应于足球、篮球、排球三个球类，每个方向上的两个本征值则对应于“喜欢”“不喜欢”的选择。比如，在左右方向上的测量相当于“你喜欢足球吗”的问话，测出自旋向左便是“喜欢”，向右则为“不喜欢”。同样地，前后方向上的测量对应于对篮球的态度，上下方向则是排球。
贝尔并不需要具体地直接实施这个实验。因为这个物理过程对于已经熟练掌握席夫教科书中技巧的量子物理学家来说不是难题，他们可以轻而易举地计算出量子力学会给出的结果。比如按薛定谔方程预测，对这样的电子对的测量会违反相应的贝尔不等式。
于是，贝尔发现微观世界的粒子的确在作弊。它们不是仅仅按照“自然”机制，以先天的基因局域性地决定自己的行为。它们不仅能、而且会表现出局域性隐变量做不到的行为，违反他定义的不等式。
因为量子力学的种种计算结果均已完全被实验证实，没有理由怀疑它在这个实验中的预测会失败。故而贝尔确信，量子力学不仅仅是允许非局域性隐变量的存在，而且必须有这样的隐变量存在。
换一句话说，特异功能式的“心灵感应”，即鬼魅般的超距作用，是量子世界中的真实存在。
那时，贝尔已经离开了斯坦福，按原计划在美国中部的威斯康星短暂逗留后又来到了东部的布兰迪斯大学。他在那里把这一成果写成题为《关于爱因斯坦-波多尔斯基-罗森悖论》（On the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox）的论文。在论文的结尾，他乐观地表示文中所描述的实验其实并非假想，完全可以在实验室中真切地实施。他希望能以此看到爱因斯坦与玻尔那场旷日持久的争议可以很快摆脱其哲学思辩的阴影，成为真正脚踏实地的物理研究。
然而，此时的贝尔却遇到一个未曾预料的尴尬。
伴随着美国物理学界地位的突飞猛进，这里的《物理评论》也早已超越传统的德国学术刊物荣登世界领先地位。爱因斯坦的EPR论文、玻尔的回应，以及后来玻姆的隐变量理论都曾在《物理评论》上发表。显然，贝尔的这个重要的新发现也应该投稿《物理评论》。但为支撑期刊的运作，《物理评论》要求作者支付版面费。这项费用对个人来说相当不菲，一般都是从科研经费中支出或由作者所在大学、机构承担。贝尔没有专项资助，在布兰迪斯只是一个临时的过客，更何况他的论文内容与他来访问的加速器“正业”八杆子打不着。贝尔不好意思开口请求学校为他的个人“业余爱好”掏版面费。
事有凑巧，普林斯顿大学的固体物理教授安德森（Philip W. Anderson）那年创办了一份新刊物。他和他的同僚觉得已有的杂志过于专业死板，希望能走出一条生动活泼的新路子。他们的新期刊就叫做《物理》，同时用了英语、法语、俄语的“物理”作为刊名。
最吸引贝尔的当然是这个刊物不收版面费，还会支付给作者一点稿费。于是，他向这个新生事物献出了自己的论文。安德森作为编辑亲自审了稿。他以为贝尔的论文只是从一个更为新颖的角度再度证明了哥本哈根诠释，不假思索地通过了审批。
当贝尔的这篇论文于1964年11月在《物理》上问世时，他早先那篇论述隐变量的论文却依然不见踪影。那篇论文的修改稿被《现代物理评论》杂志社人员放错了档案而“遗失”。编辑还发过催稿信，寄到斯坦福时贝尔早已人去楼空。他们迟至两年后才重新接上头。这使得贝尔在量子力学基础问题上的第一篇论文直到1966年才得以面世。（也是在那年，两个数学家Simon Kochen和Ernst Specker独立地证明了贝尔的结果，差点抢到贝尔论文发表之前）。
有着贝尔不等式的第二篇论文后发先至，不过其命运也好不了多少。安德森那充满理想主义情怀的《物理》期刊没能坚持多久就销声匿迹，丝毫没能产生影响。贝尔的论文也随之石沉大海。他在经济上也是得不偿失。廉价的《物理》没有为作者提供免费的论文单印本，贝尔不得不自掏腰包购买一些单印本分发给同行，所需费用超过了所得的稿费。
在无人喝彩的寂静中，贝尔又回到他的老本行，继续在加速器上不断地创新。