角系列模型：坐标系中的特殊角/构造相等角、半角、二倍角/最大角问题（米勒）
说到特殊角我们很快就能想到比如30°、45°、60°、90°等，事实上，之所以以上角能称为特殊角，关键在于这些角的三角函数值特殊，比如同为整十，为什么我们会将60°称为特殊角，而50°便不是，原因很简单，cos60°=1/2，而我们并不知道50°的任一三角函数值．
因此角度特殊不在于这个角是多少度，而在于其三角函数值是否有特殊值，所以除了常见的30°、45°、60°，我们可以扩充一下特殊角的范围．
引例：坐标系中的45°角
如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为y=1/2x，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转45°得到直线CD，求CD解析式．
【分析】
思路1：构造三垂直相似（全等）
在坐标系中存在45°角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，构造三垂直全等确定图形．
在直线AB上取一点O，过点O作OP⊥AB交CD于P点，分别过M、P向x轴作垂线，垂足为E、F点．
易证△OEM≌△PFO，
故PF=OE=2，OF=ME=1，
故P点坐标为（-1，2），
结合P、M坐标可解直线CD解析式：y=-1/3x+5/3．
构造等腰直角的方式也不止这一种，也可过点O作CD的垂线，
但直角顶点未知的情况计算略难于直角顶点已知的情况，故虽可以做但并不推荐．
思路2：利用特殊角的三角函数值．
过M点作MN∥x轴，则tan∠OMN=tanα=1/2，tan∠CMN=1/3，
考虑到直线CD的增减性为y随着x的增大而减小，故kCD<0，
所以直线CD：y=-1/3(x-2)+1，
化简得：y=-1/3x+5/3．
引例：坐标系中的一般特殊角
如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为y=1/2x，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转α得到直线CD，且tanα=3/2，求直线CD解析式．
【分析】
在直线AB上再选取点O构造三垂直相似，如下图所示，
易证△PFO∽△OEM，且相似比PO：OM=tan∠PMO=3/2，
即OF=3/2ME=3/2，PF=3/2OE=3，
故P点坐标为(-3/2，3)，
结合P、M点坐标可解直线CD解析式：y=-4/7x+15/7．
本题并不容易从三角函数值本身下手，原因在于角度并不属于我们所讨论的特殊角范围之内，简便的做法只存在于特殊的角中．
2019盐城中考
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2018辽阳中考（删减）
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2013黑龙江中考
2019资阳中考（删减）
（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；
（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；
（3）等腰三角形：等边对等角；
（4）全等（相似）三角形：对应角相等；
（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；
（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．
2017来宾中考（删减）
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2019德州中考（删减）
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2017丹东中考（删减）
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2018娄底中考
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2019海南中考（删减）
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2018玉林中考（删减）
2019泰安中考（删减）
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2018日照中考（删减）
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2019赤峰中考（删减）
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既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角的方法也并不唯一，常用如下：
思路1：构造半角三角函数．
构造二倍角三角函数：
思路2：等腰三角形外角．
三角形外角等于和它不相邻的两个内角之和．
当然方法远不止于此，仅提供一点解题思路，接下来看一点中考题中的二倍角、半角问题．
【转化为等角】
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-1/2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-1/2x²+bx+c经过A、B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标．
【简单的三角函数计算】
如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
问题：当t=1时，抛物线y=x²+bx+c经过P、Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=1/2∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
【特殊角的三角函数值】
如图，抛物线y=x²+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB=2∠ACO．求点P的坐标；
【半角三角函数计算】
如图所示，二次函数y=k（x-1）²+2的图像与一次函数y=kx-k+2的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k<0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC=2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【构造旋转得定角】
如图，抛物线y=ax²+2x+c（a<0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB=OC=3．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）如图2，点E的坐标为（0，-3/2），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【构造等腰三角形】
如图，抛物线y=ax²+6x+cx轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y=x-5经过点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题：
如图，点A、B直线l的同一侧，在直线l上取一点P，使得∠APB最大，求P点位置．
圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角．
相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半．
如图，∠P=∠ACB-∠PBC．
换句话说，对同一个圆而言，圆周角>圆外角．
结论：当点P不与A、B共线时，作△PAB的外接圆，当圆与直线l相切时，∠APB最大．
证明：在直线l上任取一点M（不与点P重合），连接AM、BM，
∠AMB即为圆O的圆外角，
∴∠APB>∠AMB，∠APB最大．
∴当圆与直线l相切时，∠APB最大．
特别地，若点A、B与P分别在一个角的两边，如下图，则有OP²=OA·OB．（切割线定理）
证明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理）
∴△AOP∽△POB，
∴OA/OP=OP/OB，
∴OP²=OA·OB．
即可通过OA、OB线段长确定OP长，便知P点位置．
最大角问题在中考中出现得并不多，也仅仅能称作是一个问题而已，但既然已经有考到了，我们就需要了解一下~
2019烟台中考
变式练习
已知最大角求直线
如图，在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（5，0）直线l经过点C（-1，2），点P是直线l上的动点，若∠APB的最大值为45°，求直线l的解析式．
【分析】
考虑到直线l未知但∠APB的最大值已知为45°，故构造圆．
记△ABP外接圆圆心为M点，则∠AMB=2∠APB=90°，
故可确定M点位置．
根据A（1，0）、B（5，0），不难求得M点坐标为（3，2），
连接MC、MP，考虑到圆M与直线CP相切，故MP⊥CP，△CPM是直角三角形．
∵MC=4，MP=MA=2根号2，
∴CP=2根号2，即△CPM是等腰直角三角形，
易求P点坐标为（1，4），
又C点坐标为（-1，2），
可求直线l的解析式为y=x+3．
注：特别感谢山大附中张永坤老师供题．
像这种问题变化方式其实并不多，是的所以这一篇我水了，理清楚问题的构成条件以及每个条件的应用，便能在变化中准确找到切入点，根据条件分析我能做什么不仅是一种嗅觉，更是靠基础的积累．
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