2020中考数学几何探究压轴题

这道题要压轴内容吧，其实也不难，只不过计算过程稍微多了些，并不是那种让大家看完条件之后感觉根本不知道怎么搞的类型。当然，形式上还是有一些难度的，例如有些同学可能侧重于图形证明，对于图形计算可能不是很上心，而这道题恰恰是利用各种线段计算才显得没有太大难度，而且这道题的图形是标准的正方形，里面的图形旋转也刚好凑成直角型，即使不知道怎么几何变换，也可以利用建立坐标系来解决。

解析：

（1）这一小题送分部分，即使不计算，看图也能看出来两个线段之间是2倍关系，而且垂直，注意2倍关系别弄反了；如果非要证明，那么连接OP即可；

（2）一般探究题型的结论都是通用的，所以这一小题铁定了等腰直角，接下来只要证明即可；

我们只知道P和Q是中点，题上并没有给PQ和AB垂直，所以我们不得不去证明垂直关系，还有相等；

要证明垂直，好像不是一下子就能完成的，但是如果我们知道了结论，△PQB是等腰直角，那么这不是正方形的一半吗？

所以我们过P做PF⊥BC于F，但是这样的话，还不知道PF长度，但是P是中点，我们过中点做了个这种垂线，是不是可以把它变成中位线？

延长CB，过E做AB的延长线，交CB的延长线于G

我们假设正方形ABCD的边长为1，则可得AO和AO'，那么BO'可得

由于PF//EG，CP=PE

所以PF=EG/2

同时EG和BO'相等，那么可得PF为BO'的一半

所以PF=BQ

同时PF//BQ

则四边形PQBF为矩形（距离我们要的正方形还差一步）

根据CG=CB+BG=（2+√2）/2

所以FG=（2+√2）/4

所以FB=（2-√2）/4

所以FB=BQ

那么四边形PQBF为正方形

所以PQ⊥BQ且PQ=BQ

则△PQB为等腰直角三角形；

（3)这一题的过程稍微多一些，毕竟求面积，得搞定线段长度，而且这一小题并没有让我们直接给出结果，如果能直接给出结果，那么根据前面的结论，△PQB肯定为等腰直角，所以即使不会解的同学，也能大概率写对答案。

那么我们来看一下这一小题，由于要求出△PQB的面积，所以底和高必须有，但是这个三角形我们知道它会成为直角三角形，但是必须证明出来，所以又是一遍证明过程，同样，我们仿照第二小题的利用线段来证明即可，如果我们能求出PQ和BQ的长度，即可得到等腰，然后再得到PB长度，利用勾股定理来获取直角即可；

先做辅助线，BQ是BO' 的一半，长度容易得到；

而PQ这种不上不下的位置，我们还要借助做各种垂线来将其放入直角三角形中解决，过P做PK⊥AB于K，过Q分别向BC和AB做垂线，垂足分别为M和N，同时过P向QM做PN⊥QM于N，其他的辅助线就不再提供了，过程中不明白的同学自己再添加其他辅助线；

先简述一下过程，然后直接给同学们贴出来老师打的草稿吧，就不在文档中编辑了；

根据条件可以得到PC和QH

那么在△CPK中可以搞定PK和CK，中位线搞定QH，且BM=QH，QM=BH

所以QN可得，而PN=MK，则PN可得

勾股定理搞定PQ，

发现PQ=BQ

利用PK和BK搞定PB

勾股定理证明△PQB为Rt三角形

则面积可得；