理查德·费曼的积分技巧，高等数学还可以这么简单

这篇文章将讨论一种晦涩但强大的积分技术，它通常被称为积分符号下的微分，但有时也被称为“费曼技术”，因为费曼在他的书中推广了这种技术，并被称为莱布尼茨积分规则。

开始之前有一点需要澄清：虽然莱布尼茨规则有时被称为“费曼技术”或类似的名称，但它不能与费曼的量子力学路径积分公式相混淆。

让我们从计算以下积分的问题开始：

费曼引用的那本书是由麻省理工学院的数学家弗雷德里克·伍兹在1926年出版的《高等微积分》，这个积分来自于那本书。

你可以试试你在微积分中学到的常用技巧。三角替换，变量替换，分部积分，用级数替换被积函数，这些都不行。你也可以试着让Wolfram Alpha计算它，它会超时。我们需要创造力！

您首先应该观察到α是关于积分的任意常数。由于定积分将是一个取决于α的数字，我们可以把这个积分看成是的函数。该方法如下：

把积分看作f()的函数；计算一些特定的便捷α值的积分。在这种情况下，如果α等于1，则积分等于0，这使我们得出条件f（1=0。在最后一步中将需要此条件；对积分求导；计算关于x的定积分；关于α无限积分；利用f(1) = 0这一条件来计算积分常数的值。我们所做的是把这个问题从计算积分变成了求解一个简单的微分方程。观察：

似乎我们只会把问题搞得更复杂了。底线末端的积分看起来特别可怕，但它可以用一点代数技巧来计算。

最后一个积分比看起来要简单。我们要消去余弦函数。为此，我们可以用换元法。

我们快完成了，我们将进行替换：

注意，由于|α |大于等于1，u是正的或者0，y的取值范围是从0到负无穷。因此：

因此，我们最终得到了关于的微分方程：

对f(1) = 0进行积分，利用f(1) = 0这一条件，可以完成积分的计算：

这就完成了计算。

在第一个例子中，我们微分的参数已经出现在被积函数中了。然而，在积分符号下微分的真正力量在于，我们还可以自由地将参数插入被积函数中，以使它更易于处理。下面的积分来自于2005年威廉·洛厄尔·普特南数学竞赛。

对于那些不知道的人来说，普特南竞赛是一项解决问题的竞赛，每年12月，数学专业的学生都会参加。它以难度高而著称，平均得分通常在0到1分之间(满分120分)。所以这个积分应该是非常困难的，尽管它看似温和的外表(顺便说一下，是一个技巧：测试是有时间限制的，所以这是一个陷阱让你浪费时间试图与初等微积分计算的积分技术)。然而，通过引入一个参数并使用我们开发的技术，这个积分可以变得非常简单。

开始：

注意，这意味着原来的积分是I(1)而I(0) = 0。现在让我们像以前一样继续：

第二行是通过部分分式分解得到的。这些是基本积分，可以立即计算以获得第三行。由于I（0）= 0，根据微积分的基本定理：

注意，我们也可以像第一个例子那样，用a来解I的微分方程，然后使用I(0) = 0条件来确定I(a)在代入a = 1之前。在这里使用FTC可以做同样的事情，但是可以缩短一些步骤。

这是一个可以用标准方法立即计算的基本积分。其结果是：

所以这个问题的解决方案是：

这是2005年考试的答案。请注意，答案讨论了处理此积分的其他技术，但这种方法是迄今为止最简单、最优雅的，更不用说最快速的方法了。

数学问题解决中最重要的技能之一是概括的能力。一个给定的问题，比如我们刚刚计算出的积分，可能看起来本身就很棘手。然而，退一步考虑这个问题，不是孤立的，而是作为整个相关问题类别的一个单独的成员，我们可以辨别出以前对我们隐藏的事实。试图计算特定值的积分a= 1太困难l ，因此，我们为每个可能的a值计算了积分值。矛盾的是，在许多情况下，解决一个普遍的问题实际上比解决一个特定的问题要容易得多。

我也认为这强调了愿意在课堂之外学习的重要性。通常在数学和科学课程中，时间限制和其他因素意味着有时教育工作者别无选择，只能在课程中不包括某些科目。这意味着如果你不主动引导你自己的学习，那么你就会错过很多潜在的非常有趣和有用的知识。