“不可能”的数学问题突破数学世界的边界，打破了对数学的认识

在一次数学 课上，一位数学老师布置 了这样的一个题目：构造一个有四个直角的凸八边形。

学生们试着将直角连续排列，有些人会尝试交替使用直角，还有人随机地将它们插入多边形中（显而易见这些都不可能成功）。他们乱涂乱画，擦除，争论不休。

然后他们开始怀疑，开始问问题。“你确定是四个直角吗？”“你确定你说的是凸面的吗？”“四个直角基本上可以构成一个矩形。我们怎样才能在八边形中再得到四条边呢？老师认真倾听，点头附和。

终于有人问了一个他们一直在小心翼翼地回避的问题，也是老师一直在等待的问题：“这可能吗？”

这个问题可以改变数学的思维模式。那些狭义地考虑特定条件的人，现在必须广义地考虑这些条件如何结合在一起。那些在系统内部工作的人现在必须退后一步，检查系统本身。这个问题在数学史上被问了一遍又一遍，问题的范围从圆周率到环绕哥尼斯堡城。这个问题帮助我们塑造了什么是数学以及我们如何理解它。

例如，找到一个具有某些性质的八边形是一项非常不同的数学任务，而不是证明不可能存在这样的八边形。在研究不同的八边形时，我们可能会碰到一个有四个直角的八边形。

但是“运气”并不能证明这样一个八边形不存在。它需要丰富的知识，不仅是关于多边形的知识，还有数学本身的知识。要考虑不可能，我们需要明白，仅仅断言一件事物存在并不意味着它就存在。数学定义、性质和定理都在一种因相互联系而产生的张力中。在试着想象有四个直角的八边形时，我们在这些相互关联的规则中寻找答案。

但要意识到这样的八边形是不可能的，我们需要退后一步，从大局出发。一个有四个直角的八边形会违反什么数学和几何原理？在这里，多边形“角和定理”是一个很好的起点。n边多边形的内角和由下面的公式表示：

这是因为每个n边多边形可以切成（n−2）个三角形，三角形内角和是180度。

对于一个八角形，这意味着内角加起来（8 - 2）×180 = 6×180= 1080度。现在，如果有四个角度是直角，那么剩下的四个角的和是 720度：

但一个凸多边形的内角必须小于180度，所以这是不可能的。有四个直角的凸八边形是不存在的。用这种方式证明“不可能”需要后退一步，由于不可能的证明依赖于对规则的广泛思考，因此通常有不止一种构造证明的方法。

证明某事是不可能的是数学的一种强大之处。它将我们的视角从规则追随者转移到规则执行者。要执行这些规则，你必须首先理解它们。你不仅要知道如何运用它们，还要知道什么时候它们不适用。你还需要注意规则之间可能发生冲突的情况。我们的八边形探索揭示了多边形、凸性、直角和“角和”之间的相互关系。

对不可能的证明可以帮助我们更好地理解数学的各个领域。在学校里，概率课通常以投掷大量假想的硬币开始。我请学生们创造一枚非均匀硬币（一枚偏向于出现正面或反面的硬币），它有以下特性：当硬币被抛两次时，两次的结果更可能是不同的而不是相同。换句话说，你得到正面和反面的概率比得到正面和正面或反面和反面的概率大。

学生们得出了一个有趣的假设：不同的结果永远都不会比相同的结果更有可能出现。一些代数说明了这一点，并暗示了一个潜在的对称性。

假设硬币偏向正面，那么：

$latex \frac{1}{2}$ + k, where 0 < k ≤ $latex \frac{1}{2}$。

1/2k>0保证了正面朝上的概率大于反面朝上的概率，

$latex \frac{1}{2}$ – k

因为这两个概率加起来一定是1，如果我们抛两次硬币，得到两个正面或两个反面的概率是：

这里我们将得到两个正面的概率和得到两个反面的概率相加。使用代数，我们可以简化两次得到相同结果的概率：

因为k>00，我们知道：

$latex \frac{1}{2}$ + 2k² > $latex \frac{1}{2}$

这意味着结果很有可能是相同的。事实上，我们发现即使1/2k = 0（当硬币是均匀地），相同结果的概率正好是

$latex \frac{1}{2}$

使得掷不同硬币的概率也是一样的。相同的结果永远不会少于不同的结果。

就像八边形问题一样，我们看到了相互竞争的数学关系在起作用，改变得到硬币一面的可能性也会改变得到另一面的可能性，而这种相互联系决定了两次掷硬币结果的可能性。我们试图做不可能的事，从而暴露了这些紧张关系。

我们可以在数学的每一个领域暴露这些竞争关系。

• 试着找出6个和为342的连续整数，寻找答案的过程使我们更好地理解奇偶性（连续整数在偶数和奇数之间交替，这一事实影响了它们的和）。
• 寻找具有3个非实根的整数系数的三次多项式将教会你复数共轭的重要性（复数对的乘积和和总是实数）。
• 如果你试着在一个圆上画出一个非正方形的菱形，你会发现循环四边形的一个重要性质（一个顶点在圆上的四边形的对角和一定是180度）。

“不可能”本身就是一种概括，一个八边形不可能有四个直角，但十边形呢？那么有n > 4条边的凸多边形呢？这类问题挑战了我们数学世界的边界，加深了我们对它们的理解。

如果我们更进一步，不可能甚至能激发新的数学世界的创造。为了证明圆是不可能的（这个问题至少有2000年的历史），我们需要现代的超越数理论，它不能作为整数多项式的根。为了解决哥尼斯堡问题中的桥梁问题，欧拉将岛屿和桥梁转化为顶点和边，赋予图论和网络理论领域以丰富的应用。求−1的平方根，便得到一种全新的算术方法。逻辑学家库尔特·哥德尔永远地改变了数学的版图，他证明了：要证明一切正确的东西都是不可能的。

所以，下次你被一道数学题困住的时候，问问自己：“这可能吗？”，与不可能抗争可以让你更好地理解什么是可能的。在此过程中，你甚至可能创造出一些新的数学。