理解薛定谔方程——堪称最伟大的公式之一
之前的文章讨论过物质的二象性，即粒子的行为像波，而波的行为像粒子。为了解释这一点，我们引入了波函数，它描述的不是粒子的实际位置，而是在给定点上找到粒子的概率。此外，当我们将波函数视为描述“概率场”的状态时，我们会发现该场的时间相关行为表现出类似于波动的行为。
假设粒子与外界的相互作用由势能函数V(r)表示，而V(r)只取决于粒子的位置。我们不讨论V取决于于时间或其他变量的情况。然后上述所描述的“概率场”是波函数ψ,满足一个偏微分方程称为薛定谔方程：
在这个方程中，r意味着位置(x, y, z),是普朗克折减常数，E是总能量，是拉普拉斯算符：
如果你了解偏微分方程。这些解表示所谓的“稳态”。现在让我们简短地讨论线性代数。我们可以用称为哈密顿量的微分算子表示薛定方程的左侧：
很容易证明这个算子是线性的。因此，薛定谔方程是一个特征值方程，这告诉我们，能量E特征值对应的特征向量ψ：
当电势不依赖于时间时，我们说我们是在“时间无关的情况下”工作。然而，这并不意味着解不依赖于时间。时间在解决方案中以相位因子exp（-iωt）的形式出现。此外，任何的线性组合的特征函数ψ也将解薛定谔方程的一般形式的解决方案是：
a是服从归一化条件的复数：
如果波函数是一个以上本征函数ψ的线性组合，那么我们说该系统处于与总和中出现的本征函数相对应的状态的叠加中。如果对系统进行测量，我们将发现它处于状态k的概率为|a|，质点的波动函数为ψ。
概率和变量
当我们在经典物理学中指定一个系统的状态时，我们是在声明它的动力学变量的精确值，也就是像位置和动量这样的物理量。在量子物理学中，情况并非如此。相反，在量子物理中指定一个系统的状态意味着指定动态变量取某些值的概率。另一个不同点是，与经典物理不同，在量子物理中，我们需要处理离散和连续的变量，因此需要处理离散和连续的概率分布。
离散的概率分布形式为：
们用过狄拉克符号。符号| n被称为“状态向量”,它们代表与离散变量的第n个值相对应的系统状态。归一化条件适用：
除了“状态向量”，还有bra向量，它们记为〈n |。如果我们将状态向量| ψ〉作为列向量，则〈ψ | 通过将| ψ〉转置为行向量，然后复数缀合| ψ〉的分量，可以得到||。由于行向量从左到右作用于列向量时的乘积是标量，因此我们可以使用狄拉克符号在基向量| 0〉，| 1〉等所跨越的向量空间上定义一个内积。空间称为“状态空间”或“希尔伯特空间”。给定两个状态向量| ψ〉和| φ〉，内积为〈φ | ψ〉。我们可以使用此内部乘积结构在为状态空间选择的基础状态上施加正交性条件：
作为一个假设，我们将说，如果已知系统处于| ψ〉状态，那么测量将发现系统处于|φin状态的概率为：
让我们来看一个例子。让|ψ和|φ以下状态：
我们找的概率已知的系统状态向量|ψ将发现状态向量|φ时测量。我们需要做的第一件事是两个向量规范化，也就是说，让|ψ|ψ|= |φ|φ|= 1。要做到这一点，我们让=ψ|ψ然后把系数|ψ的A。这将确保|ψ|ψ|= 1。归一化常数为：
因此概率为：
在这种表示法中，我们可以把波函数的级数展开形式写成状态向量：
假设我们想要的概率系统能量E对于某些特定值的k。假设一个已经规范化。这个概率是：
阶段的因素消失，因为它的绝对值的平方是1，这就是为什么我们缺少时间依赖电话美国| E静止的。另一方面，假设系统具有以下波函数：
假设我们还想知道系统处于以下状态的概率：
这个概率是：
请记住，ω=E/。对于复数z，| z |=zz，其中z是z的复共轭。因此：
因此，静止状态的叠加也不一定是静止的。
离散情况就是这样。连续的情况要简单得多。如果粒子处于波函数为ψ的状态，则粒子在空间V的某个区域中的概率为：
其中A是整个空间中|ψ|的积分。作为一个非常简单的示例。现在我们已经大致了解了薛定谔方程。但是真正理解物理的最好方法是做物理，现在让我们看一些例子。
自由粒子
我已经在我关于波粒二象性的文章中讨论过自由粒子的情况，但是我将在这里简要地回顾一下。粒子是自由的，因为它不受任何外界的作用，所以V(r)=0。自由粒子的薛定谔方程为：
其中k^2 ＝ 2mE / h^2。解是：
当包含相位因子时，我们得到：
其中A 是粒子沿矢量k方向传播的概率，而B 2是粒子沿与k相反的方向传播的概率。请记住| k|=k。由于粒子是自由的，因此后一个概率为零，解为：
这个解告诉我们，自由粒子像波一样传播，从而解决了波粒二象性悖论。
盒子里的粒子
现在，我们将找到处于无限方阱势中的粒子的稳态：
如果粒子在井外-L/2到L/2之间的任何地方，那么它会有无限的能量，这在物理上是不可能的。因此粒子在井外的任何地方的概率是零。因此，我们需要解决一维自由粒子的问题:
这将受边界条件ψ（0）=ψ（L）= 0的限制。根据基本微分方程，稳态必须具有以下形式：
由于sin（0）= 0，第一行表示所有n的A= 0。然后第二行减少到Bsin（kL）= 0。B= 0可以满足，但是A=B= 0给出了平凡的解决方案，这对我们来说并不重要。另一种可能性是k=nπ/ L，这是有效的，因为对于所有整数n而言sin（nπ）= 0。因此，我们有一个能级公式：
我们需要找到B。由于我们已经使用边界条件来求解E，因此无法使用边界条件。幸运的是，解决方案必须解决的另一个条件是归一化。因此：
通过计算积分并求解B，解是：
因此，捕获在无限方阱势中的粒子的可能状态表示为：
这个结果告诉我们两件有趣的事情：
首先，它演示了能量的量化。盒子中的任何粒子必须具有给定值之一的能量。其次，最小能量不为零。如果它为零，则n = 0，因此ψ= 0，因此在空间中任何地方找到粒子的概率为零，这意味着粒子不存在。“盒中粒子”主要是一个说明性示例，但确实有实际应用。我们在这里使用的基本原理同样适用于粒子被限制在一个较小区域但可以在该区域内自由移动的任何情况。例如，通过将原子核的粒子或一块金属中的传导电子表示为盒子中的粒子，可以得到有用的包络线结果。
量子隧穿
考虑一个停在高度为h的山丘底部的球。球被踢动，使其具有初始速度v和初始动能mv/ 2，并开始滚上山坡。当球滚上山坡时，它必须克服重力作用，因此动能变为重力势能，并且球减速。当球达到高度y时，已经失去重力的动能为mgy，其中m是球的质量，而g = 9.8m /s是由于均匀重力而产生的恒定加速度。如果对于某些y <h，mv/ 2 = mgy，则球用尽了动能，停止了运动并开始向后滚落。另一方面，如果mv/ 2/2＞ mgh，则球具有足够的动能以克服重力并越过山坡。
山丘是一种势垒:一个包含力场的空间区域，只有当有足够动能的粒子进入势垒时才能穿过这个力场。在经典力学中，一个粒子要么有足够的动能，要么没有足够的动能穿过势垒。但在量子力学中，动能小于势垒“高度”的粒子仍然有机会到达另一端。这叫做挖隧道。
我们考虑一个矩形势垒，它的形式如下：
假设一个粒子从左以动能E<V接近，我们将计算该粒子最终到达势垒另一侧的可能性。此概率称为传输系数T。为此，我们需要在三个区间x <0（区域1），0≤x≤L（区域2）和L <x（区域）中分段求解波动函数。3）。在区域1和3中，粒子是自由的，在这种情况下，我们已经解决了波动函数：
其中A是区域1中向右传播的粒子的振幅，B是区域1中颗粒从势垒反射回来后向左传播的振幅，A是区域3中传播的粒子的振幅B1是区域3中向左传播的粒子的振幅。显然B= 0，因为没有粒子从右边接近障碍物。现在我们需要找到障碍物内部的波动函数。薛定谔方程为：
V-E> 0。现在，我们将重新整理一下：
记住q是实数。由初等微分方程可知:
其中包含了相位因子。但是，由于我们可以看到所有波动函数都同相，因此我们可以舍弃相位因子，只需将一般解写为：
回想一下，我们说过B1是在区域1中向左行进的粒子的振幅，而A3是在区域3中向右行进的粒子的振幅。粒子将在区域1中向左传播的唯一原因是它是否从障碍中反射出来；粒子在区域3中并且向右传播的唯一原因是它穿过隧道穿过了障碍物。
现在，让我们使用该信息将粒子的状态表示为抽象状态向量，该状态向量是“透射”和“反射”状态的叠加：
如前所述，当我们遇到状态向量时，我们做的第一件事是将它标准化:
分母中的术语是两个可能结果的叠加的幅度，这意味着这是发生任一事件的幅度，而不必关心两者中的哪一个。为此的必要条件是，粒子必须首先已经入射到屏障上，并且由于可能发生透射和反射，因此入射到屏障上也是充分的条件。因此，当且仅当粒子入射在障碍物上时，粒子才会透射或反射，因此分母中的总振幅等于入射粒子的振幅，这意味着：
所以透射系数为:
现在求解A和A，我们将利用ψ和dψ/ dx必须都在x = 0和x = L处连续的事实。这为我们提供了以下方程组：
似乎我们陷入了困境，因为这是一个包含五个变量的四个方程组。但是我们只对比率A/A感兴趣，所以这对我们来说不是问题。为此，我们将使用第三和第四个方程式以A 1来求解A 2和B 2，然后将结果插入前两个方程中以找到A 1 / A 2。
同样对于B:
通过将第一个方程式与ik相乘，然后将第二行添加到第一行式中，从第一个方程式中消除B，然后将结果代入A 2和B 2：
现在取两边的绝对值，平方，然后取倒数:
通过使用cosh（x）-sinh（x）= 1并重新排列，我们发现：
然后我们把q和k代入，得到T关于能量和势能的表达式：
反射系数可由R=1-T计算。
有趣的是，量子隧道存在一种双重现象。就像能量小于势垒高度的入射粒子具有非零概率穿过该势垒一样，也存在一个非零概率，其能量大于势垒高度的入射粒子将被反射。
在自然界和技术应用中，隧道效应都是最重要的量子力学效应之一。例如，如果不发生隧穿，则静电排斥几乎总是会阻止原子核足够靠近而无法融合，因此，核聚变实际上是不可能的。隧道效应对现代半导体器件的尺寸也有重要的限制：如果电子组件太小，则电子就很难通过电子流过，因此它们变得难以使用。
但是，最引人注目的例子之一是扫描隧道显微镜，它是1981年由格尔德·宾宁和海因里希·罗雷尔于1981年发明的，并为此获得了1986年诺贝尔物理学奖。在STM中，将一个小的尖锐的导电尖端固定在样品表面上方的固定高度处，并沿该表面扫描：
针尖和样品之间的间隙起着势垒的作用。如果样品离尖端越近，势垒越小，传递的电子就越多。通过计算在每个点上传输的电子数，可以确定样品的高度，这可以用来创建一个分辨率的表面图像，可以显示单个原子的位置
我不确定如何最好地介绍薛定谔方程。特别是，我不确定是否最好通过更严格的形式主义方法，因为这对我来说最有意义，或者专注于演示。最后，我认为最好的办法是简单地展示薛定谔方程是什么，它是干什么的，解释到底发生了什么。