12岁的爱因斯坦，是怎么证明勾股定理的？
勾三
股四
今天艳阳天那个风光好呀，超模君带着8岁表妹，出gai晒太阳。
聪明的表妹一见超模君，马上就发现了亮点：“表哥，你这衣服上写得是啥字儿啊？”
超模君低头一瞧，说：“哦，这写的呀，是勾股定理呢。”
表妹挠了挠头：“咕咕定理？”
超模君只好解释：“不不，是勾——股定理！一个数学定理。”
一听到“数学”俩字，表妹马上两眼发光：“数学？好呀！”
接着一蹦跶，挂在超模君腿上要我给她讲勾股。
我说行行行，老妹你松手先。
这勾股定理呐，还得从三千多年前说起呢......
《周髀算经》
话说在西周的时候，有一位叫商高的数学家。
这商高的智商确实高，有一天，他和周公出gai时聊到了一个定理。
定理大概的意思就是：直角三角形两条直角边的平方，加起来等于斜边的平方。
后来呢，有人管那条短的直角边叫“勾”，长的叫“股”，斜边则叫作“弦”，所以这个定理就被叫作“勾股定理”。
“呐，懂了没？” 讲完故事，超模君问了表妹一句。
但没想到表妹一脸李安式迷惑：
表妹一蹦跶，又问：“为啥那两条直角边的平方，加起来会等于斜边的平方呢？”
超模君只好再做解释：“老妹你先松手，然后拾个棍子来，哥在地上给你比划比划吧。”
五分钟后，超模君蹲在地上，对着表妹说：“呐，老妹你看好咯。”
“你先这样，画出来一个大正方形。这个大正方形的里面，有个小正方形和4个直角三角形：
图源@李永乐老师
直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
大正方形的边长就是直角三角形的斜边c，所以它的面积就是：
而大正方形刚好是由小正方形加4个直角三角形组成，也就是说，它们的面积是相等的。
所以咱们又可以列出一道等式：
OK，现在咱们再联立一下这俩等式，看看能得出......”
“我知道！”
没等超模君动手，表妹就抢过棍子，在地上演算了起来。
超模君一看表妹算出来的答案：
完美！这就是勾股定理的完美证明！
超模君欣慰地拍拍表妹的头：“真是盖了帽了我的老表妹！看来你已经理解勾股定理了。”
夸完了表妹，超模君又说：“老妹啊，现在你已经比爱因斯坦还牛逼了。
当年他证明勾股定理的时候，已经12岁了......不过，他用的方法你估计看不懂。”
表妹听完不蹦跶了，只是嘟嘴说了句：“我不信！”
于是超模君只能蹲下，继续给她比划。
首先，爱因斯坦从直角顶点向直角三角形斜边做了一条垂线：
图源@李永乐老师
把三角形分成了两个小部分橘红色部分1和绿色部分2，然后再将原来的三角形标记为3。
接着，爱因斯坦将1、2、3三个三角形排成一排，然后以它们的斜边为边，做出三个正方形：
图源@李永乐老师
这三个正方形的边长就分别是a、b、c，面积就分别为a2、b2、c2。
这三个图形的形状一模一样，只是大小不同，在数学上，我们管这叫作“相似”。换句话说，在这三个图形里面，三角形部分和正方形部分的面积比都是一致的。
我们设这个比值为m，1、2、3这三个三角形的面积就分别是ma2、mb2、mc2。
我们知道，三角形1的面积+三角形2的面积=三角形3（整个三角形）的面积：
图源@李永乐老师
所以我们可以得出：
把m约去，就是：
你就说，神不神！
“太神了！”表妹看完直接喊了出来，“表哥，没想到你这衣服的图案这么神呐！”
超模君摸摸表妹的头，说：“那必须的！”
接着表妹又问：“表哥，那勾股定理还有其它证明方法吗？”
“哇，那可海了去了。勾股定理可是数学定理中证明方法最多的定理之一，目前大概有400种证明方法！
更重要的是，勾股定理不仅仅是一个普通的几何定理，它还是数形结合的纽带之一，是人们认识宇宙中形的规律的自然起点。”
点击图片，探索勾股
勾股定理的出现，推动了人类对数学几何更深层次的探索。
对人类数学史而言，勾股定理就是普罗米修斯的火种，T恤上的它不只是一个图案，更是数学的烙印。