「初中数法」巧用构造法求五种特殊角的三角函数值

对于30°，45°，60°角的三角函数值，我们都可以通过定义利用特殊直角三角形三边的关系计算，那么碰到像15°，22.5°，67.5°等特殊角的三角函数能否计算呢？答案是肯定的，可以构造相关图形，数形结合进行巧算。

一.巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值

1.求sin15°，cos15°，tan15°的值.

【分析】我们已熟记30°角的三角函数值，因为15°角为30°角的1/2，则可利用含30°角的直角三角形构造出含15°角的直角三角形，从而求出15°角的三角函数值，如图，

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠C=90°，延长CA到D，使AD=AB，连接BD则∠D=15°，设BC=a，则AB=2a，AC=√3a，∴AD=2a，CD=(2+√3)a，在Rt△BCD中，由勾股定理得BD=√[a²+(7+4√3)a²]=√2a×√(4+2√3)=√2a×√(√3+1)²=(√6+√2)a，∴sin15°=sinD=BC/BD=a/(√6+√2)a=(√6一√2)/4，cos15°=cosD=CD/BD=(2+√3)a/(√6+√2)a=(√6+√2)/4，tan15°=tanD=BC/CD=a/(2+√3)a=2一√3.

二.巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值

2.求tan22.5°的值.

【分析】与第1题类似，利用22.5°=45°/2，在含45°角的直角形的基础上构造22.5°角，如图

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延长CA到D，使DA=AB，连接BD，则∠D=22.5°，设AC=BC=a，则AB=√2a，AD=√2a，DC=(√2+1)a，∴tan22.5°=tanD=BC/CD=a/(√2+1)a=√2一1.

三.巧用折叠法求67.5°角的三角函数值

3.将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，求出67.5°角的正切值.

【分析】依题分析知，AB=BE，∴∠AEB=∠EAB=45°，AE=EF，∴∠EAF=∠EFA=22.5°，∴∠FAB=67.5°，设AB=a，则BE=a，AE=EF=√2a，∴tan67.5°=tan∠FAB=FB/AB=(√2a+a)/a=√2+1.

四.巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°，72°角的三角函数值

4.求sin18°，cos72°的值.

【分析】我们知顶角为36°的等腰三角形，有其特殊性，如图，

作△ABC使∠BAC=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D点，过点A作AE⊥BC于E点，则∠BAE=∠CAE=18°，∠ABE=∠ACB=∠BDC=72°，∠DBC=36°，设BC=a，则BE=a/2，BD=AD=a，易知△ABC∽△BCD，∴AB/BC=BC/CD，∴AB/a=a/(AB一a)，即AB²一AB×a一a²=0，∴AB=a(√5+1)/2(负根舍去).∴sin18°=sin∠BAE=BE/AB=(√5一1)/4.cos72°=cos∠ABE=BE/AB=(√5一1)/4.

五.巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值

5.求sin75°，cos75°，tan75°的值.

【分析】作△ABD，使∠ADB=90°，∠DAB=30°，延长BD到C，使DC=DA，连接AC，过点B作BE⊥AC于E，则∠BAE=75°，如图，

设AD=DC=a，则AC=√2a，BD=√3a/3，AB=2√3a/3，∴BC=BD+CD=(√3/3+1)a，∴CE=BE=BCsin45°=(√6+3√2)a/6，∴AE=AC一CE=(3√2一√6)a/6，∴sin75°=sin∠BAE=AE/AB=(3√2十√6)a/6÷2√3a/3=(√6+√2)/4.cos75°=cos∠BAE=AE/AB=(√6一√2)/4，tan75°=tan∠BAE=BE/AE=2+√3.

【总结】依据已有的旧知识，化新知识为旧知识，用熟知的旧知识解决困难的新知识，是研究解决问题的常用方法，体现了转化的思想方法.