生活中的数学·读《神奇的数学》
——读索托伊《神奇的数学》一书有感
数学和我们的生活有着密不可分的联系，尽管有的时候我们可能并未留意到这一点。
一、斐波纳契数列
在中世纪的意大利，有一位“最有才华的西方数学家”，名叫列奥纳多·皮萨诺。是他率先将阿拉伯数字和乘数的位值表示法系统引入了欧洲。但现在人们提到他的时候经常称其为斐波纳契。这是怎么回事呢？原来他在1202年出版了《计算之书》一书，在书中他列举了斐波那契数列，这个数列太知名了，所有后人常以“斐波那契”来称呼他。
在《计算之书》中，作者介绍了斐波那契研究的一个数学问题——兔子在理想环境下繁殖的速度。假设一对新生的兔子，一只公的，一只母的，被放进田里豢养。兔子可以在一个月大的时候交配，这样在第二个月的月底，雌性兔子就能生产出另一对兔子。假设兔子永远不会死，从第二个月开始，雌兔每个月都会生一对新的兔子（一雄一雌）。斐波那契提出的问题是：一年后总共会有多少对兔子？
这个问题的背后，就是著名的斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13……，产生斐波那契数列的规则是：前两项数字相加的和为下一项的数字。用公式表示就是：xn+1=xn+xn-1。
兔子的问题是人为设立出来的，在自然界中，体现这一数学规律的情况还是很多的，蜜蜂就是其中的一例。蜜蜂中的雄蜂是由蜂王的未受精卵子产生的，所以说它只有母亲而没有父亲。而雌蜂是在蜂王和一只雄性交配的时候产生的，因此雌蜂有父母。如果将它们的家谱从下往上看，就会发现，无论是雄蜂还是雌蜂，其代际之间的数量关系，都遵循斐波那契数列，其中雄蜂是1，2，3，5，8……，雌蜂是2，3，5，8，13……。
海螺那美丽的螺旋形状的背后，同样隐含着斐波那契数列。我们可以从两个叠在一起的边长为1的小正方形开始，然后画一个边长为2的正方形紧贴此前画好的两个小正方形；接下来画一个边长为3的正方形紧贴此前已经画好的图形……就这样继续在图片周围添加正方形，每一个新的正方形都有一个边，其长度与最近两个正方形的边之和一样长。如果在每个正方形上画一个四分之一的圆，并将这些圆弧依次连接起来，就会看到这根曲线非常近似于经常出现在自然界中的螺旋形状，比如蜗牛和贝壳的形状。
不光是动物中包含着这样的神奇的数学，植物花瓣的数量通常也都是斐波纳契数列中的数字。比如：延龄草有3瓣花瓣，紫罗兰有5瓣，飞燕草有8瓣，万寿菊有13瓣，菊苣有21瓣，除虫菊有34瓣，向日葵则通常有55甚至89瓣。也有一些植物的花瓣的数量是斐波纳契数列中的数字的二倍，比如某些品种的百合，其花朵由两朵花组合而成。知道了花瓣中蕴含的这奇妙的数字，你找时间可以仔细去数一数，如果花瓣的数量不符合斐波纳契数列中的数字，那么一定是有花瓣掉落下来了。
如果你仔细观赏向日葵的花盘以及种子的排列，你还会先种子特别神奇、美丽的排列方式，它们是两组螺旋线，一组顺时针向右，一组逆时针向左，并且彼此镶嵌。当你从中央逐渐向花盘的边缘看过来的时候，你可以看到55个左旋的螺旋线，如果你盯着同一点看，还可以看到左边有34个螺旋，右边有21个螺旋。这些数字，都隐含在斐波那契数列之中。
除花朵以外，在松果和菠萝上也可以发现斐波纳契数列中的数字。切开一只香蕉，你就会发现它是由三个部分组合而成的。而从一个苹果的茎部一刀切至底部，你就能看到一个五角星的形状。如果切开一个莎隆果，你就能看到一个八角星的形状。
列奥纳多·皮萨诺是如何发现这一数列的呢？据说与中世纪印度的诗人和音乐家有关。公元8世纪，印度作家维拉汉卡决定接受挑战，探索一下到底有多少种不同的节奏存在。他发现随着节拍数量的增加，可能的节奏模式的数量会按照以下序列依次增加：1，2，3，5，8，13……。他也意识到，要得到数列中的后一个数字，只需将前面的两个数字相加即可。于是，当我们想知道8个节拍中有多少种节奏的可能性时，只需查看序列中的第8个数字即可，即由13和21相加所得来的34，因此，8个节拍中共有34种不同的节奏组合。
二、水立方的形状
17世纪伟大的科学家伽利略曾经写道：在掌握其语言、熟悉其文字之前，我们是无法读出宇宙奥秘的。宇宙是用数学语言写成的，其字母是三角形、圆形及其他几何图形，缺乏对这一切的了解，人类便无法读懂其中的一词一句，只能在黑暗的迷宫中彷徨摸索。
“水立方”是北京的标志性建筑之一，整体建筑由3000多个气枕组成，气枕的大小不一、形状各异，覆盖面积达到10万平方米，堪称世界之最。除了地面之外，外表均采用膜结构。那么，设计师设计的灵感源自何处呢？
如果我们近距离观察水立方的外侧，它看上去就像用一块玻璃横截开泡沫时气泡所呈现的形状。设计师的设计灵感就源于此。
比利时物理学家普拉托是一个醉心于视觉研究和吹泡泡的人，他于1873年出版的长达450页的《仅置于分子力之下的液体之静力学》一书是关于泡泡研究的经典。他在本书中总结了气泡相聚在一起如果要达到稳定的状态需要遵循的法则，现在称之为普拉托定理。有四个方面的内容：第一，气泡由完整光滑的曲面拼成；第二，气泡的每一片膜都是常平均曲率曲面；第三，泡泡表面的边界一定是由三表面两两相接构成的三条曲线（称作普拉托边界）， 其交角为120°，即夹角为arcos(−1/2)= 120°；第四，普拉托边界之间相交一定是由四条边界相交构成一个点，四条边界线两两之间的交角都相同，等于正四面体的中心同各顶点连线所成的角，即夹角为arccos(−1/3)=109.47°。
气泡聚合，永远会寻找消耗最少能量的那种形状，由于能量消耗和表面积成正比，因此，它们试图构建的形状也将含有最小肥皂泡表面的区域。普拉托定律描述的这个结构就是寻找最小表面积得到的结果，任何不满足普拉托定律的结构都会很快地变化成普拉托定律所描述的样子。普拉托定律是所有泡泡都要满足的，无论泡泡的大小是否均一。
普拉托有关泡泡的研究带动了一个领域的发展。大自然总是在寻求最优化，以最小的能源成本获得最大的收益。因此，“最小曲面”问题随处可见，甚至在更高的维度上也是如此，各类研究人员都在努力描述这些支配性规则。据休斯敦大学机械工程师安德里亚·普罗斯佩瑞提估计，各领域的研究人员撰写了“成千上万篇”关于泡泡的论文。原因在于肥皂泡和存在主义一样，都是看起来很简单。他写道：“肥皂泡空空如也、具有非流动性，是一个遮蔽着数学奇点的微型云朵。它诞生于偶然，随着与几近无限的结合而结束其动荡而短暂的一生。”
四处打量你就会发现，大大小小的肥皂泡无处不在：比如植物细胞的结构、巧克力和奶油的结构、乳化沙拉酱、啤酒沫的结构、高科技给药系统，等等。长期以来，天体物理学家一直有这样一个象征性的假设：星系团有一个类似于肥皂泡的结构。在黑洞研究领域，最小曲面同样是一个重要议题，黑洞的动力学受“肥皂泡定律”所驱动。1976年，西里尔·伊森伯格在一篇经典论文中把肥皂泡薄膜称作是“一台模拟计算机”。1994年，爱尔兰物理学家丹尼斯·威尔和他的学生罗伯特·费兰发现了同等体积多面体肥皂泡最有效的空间划分结构。这些都给了水立方的设计者很多的灵感。
如果你关注一下普拉托定理的第三条，或许还可以产生更多的联想。三条边互成120°而平衡，这是物理学中的一个基本的平衡模型。通常在高中一年级讲授力的合成和分解时，这个模型总是会被拿出来反复研究的。这一模型的价值不仅仅是在物理知识的学习和应用之中，它对分析和研究化学、生物等学科的一些前沿也是很有价值的。比如说，在分子层面的研究中，如果将生物纳米管连接到另外一根纳米管上，组成一个类似“三通”的形状，那么它们最终稳定下来的时候，相互之间必然互成120°角。
理解泡沫结构可以帮助我们弄清楚自然界中的许多其他结构的形状。另外，泡沫可用于灭火、保护水源免受泄露的放射性物质的污染，也可用于采矿等。对这些工作的机理研究，也是一件很有趣的事情。
三、无处不在的密码
一旦你开始寻找密码，就会发现我们的生活中充满了各式各样的密码：在所有我们购买的物品上面都印着条形码；借助于密码，我们可以把音乐存储在MP3播放器中；密码能让我们浏览网页。甚至你正在看的这篇文章也是以密码写的，这种密码就是汉语，实际上，它是由标点符号和部首构成的一种密码，这套我们所“公认的密码字符”便储存在《现代汉语词典》里。甚至连我们身体内也包含着密码，即DNA，它是由四种被称为碱基的有机化学物质。
公元前405年，雅典和斯巴达之间的伯罗奔尼撒战争已进入尾声。在斯巴达军队逐渐占据了优势地位，准备对雅典发动最后一击时，他们捕获了一名从波斯帝国回雅典送信的雅典信使，该信使得一条布满杂乱无章的希腊字母的普通腰带引起了巴达军队统帅莱桑德的注意，经过反复研究，在无意中把腰带呈螺旋形缠绕在手中的剑鞘上时，奇迹出现了，那些杂乱无章的字母变成了一段文字，告诉雅典，波斯军队准备在斯巴达军队发起最后攻击时，突然对斯巴达军队进行袭击。这是世界上最早的密码情报，其具体运用方法是，通信双方首先约定密码解读规则，然后通过特定的解码规则来读取意义。
人们发明了各式各样的密码来传递相关的信息，烽火台就是其中的一种。17世纪最著名的科学家之一罗伯特·胡克，设计出了旗语，并于1684年将自己的想法传达给了伦敦的皇家学会。古典密码编码方法归根结底主要有两种，即置换和代换。把明文中的字母重新排列，字母本身不变，但其位置改变了，这样编成的密码称为置换密码。最简单的置换密码是把明文中的字母顺序倒过来，然后截成固定长度的字母组作为密文。代换密码则是将明文中的字符替代成其他字符。自1838年美国人萨缪尔·摩尔斯发明出他的密码之后，其他所有密码都在摩尔斯电码成功的光环下销声匿迹了。
我们平时看书，一定会注意到书上的条形码——ISBN码。这个条形码的编排是有规律的：将条形码中的数字和它所在位置的序号进行了乘法运算。第一位数字乘以1，第二位数字乘以2，第三位乘以3，依次类推，然后将这些数字加起来，最后的结果一定是10的倍数。自2007年1月1日起，ISBN码由10位数扩充为13位。其中前12位用来确认书籍信息，包括出版社、出版国家等，而第13位数字则作为纠错位来使用。如过你在输入ISBN码时输错了某几位数字，根据此序列计算出的数字便不再是10的倍数，电脑就会提示输入错误，并引导你再输一遍。当然现在方便了，有了扫码仪之后，这些事情都被机器所取代，犯错误的机会也少了。
传统密码形式像是一个用同一把钥匙锁上和打开的锁。现在的互联网密码则是一种新型的锁，上锁和开锁的时候需要使用不同的钥匙。因此，网站可以随意发布上锁的钥匙，只要把开锁的钥匙牢牢握在手里即可。很多人担心将自己的银行账号和密码发送到了网上，会造成个人隐私的泄露等不安全因素，其实这样的问题数学家们早已经帮我们想到了，而且采取了非常安全的方式。除非有人恶意去做此事，通常情况下是非常安全的。当然，这里面涉及的数学知识比较复杂，这里就不多做介绍了。
密码的设置和解密始终是一对矛盾，最近比较热火讨论的量子通讯，就是通过“量子纠缠”的方式来提高传递信息的安全性的。从目前的发展情况看，这样的日子不会太远了。
《神奇的数学：牛津教授给青少年的讲座》 [英]马库斯·索托伊/著 程玺/译 人民邮电出版社 2013.01