解一道网红小学几何题（三）

本文解一道网红小学几何题，适合初中学历读者。

问题

如图，正方形 ABCD 的边长为 10，正方形内部有一个内切圆，分别以 A、C 为圆心，正方形边长为半径画弧，求两条弧与圆所夹的阴影部分面积。

---

方法一：几何方法

如图，由于整个图形关于直线 AD 对称，故阴影部分面积可以看成左上、右下两个完全一样的阴影部分面积组成，这里我们只求左上阴影部分面积。正方形 ABCD 的中心为 O，这也是内切圆的圆心，弧 BD 交内切圆于 E、F 两点，连接 OE、OF、OC、CE、CF。

注意到

的三条边都是已知的，其中

故我们解

可得：

根据二倍角公式可得：

那么

扇形 CEF 的面积为

扇形 OEF 的面积为

三角形 EOC 的面积为

注意到三角形 EOC 和 三角形 FOC 是全等的：

那么我们要求的左上阴影面积为

从而阴影部分面积为

---

方法二：解析方法

如图，以圆心 O 为原点，OD 为

轴正方向建立平面直角坐标系。根据图形对称性，我们依旧只需要求半边阴影部分面积即可。

容易得出半圆的方程为

弧 BD 的方程为

联立两个方程可解得 E、F 的坐标为

先计算半圆上的弧 EF 与

轴所为的面积

，如下图

令

，则

那么

也可以表示为

令

，则

再计算下面的弧 EF 与

轴所为的面积

，如下图

令

，则

那么

也可以表示为

令

，则

那么上面的阴影部分面积为

从而阴影部分面积为