2020巴西数学奥林匹克 第二级-中文翻译

本考试为2020巴西数学奥林匹克，因疫情延期至2021年3月15-16日进行.
本考试为第2级,适用于8-9级学生.
第三级见链接：2020-2021巴西数学奥林匹克 第三级

第一天

1.锐角中, 为高. 平分线与交于点. 过作于. 若, 求.

2.黑板上写有一句话: 方程有两个整数解. 其中处的数被涂掉了. 求黑板上原本可能的方程.
译者注: 方块处可能不止一个数字.

3.正整数列满足,对任意:
若为偶数, 则;
若为奇数, 则,其中 .
若在此数列中, 求的最小值.

第二天

4.若一个正整数的首位数字和末位数字相同, 就称这个数是"巴西味"的. 例如,和都是巴西味的, 而就不是巴西味的. 如果一个巴西味的数可以写成两个巴西味的数之和, 就称这个数是"超级巴西味的", 例如 和 都是超级巴西味的. 但 不是,因为本身不是巴西味的.
求超级巴西味的四位数的个数.

5.中, 为中点. 为外心. 已知和的外接圆再次相交于点. 直线和直线交于点. 求证: .

6.已知为正整数. 甲乙两人在一个的网格表上玩游戏, 初始时每个单元格均为空. 由甲开始, 双方轮流进行如下操作: 在每回合中, 任意一名玩家任选一个空的单元格, 在其中放上一枚蓝色或者红色的棋子. 若经过若干回合之后, 存在个连续的单元格颜色相同, 则甲获胜. 若所有单元格被填满后, 仍然不存在个连续的单元格颜色相同, 则乙获胜. 问为何值时, 甲有必胜策略.