弦图模型分析破解（二）

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1．内弦图

如图，在正方形ABCD中，BF⊥CG，CG⊥DH，DH⊥AE，AE⊥BF，则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．

证明  因为∠ABC＝∠BFC＝90°

所以∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB－90°．

所以∠ABE＝∠FCB．

又因为AB＝BC．所以△ABE≌△BCF，

同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．

2．外弦圈

如图，在正方形ABCD中，点M，N，P，Q在正方形ABCD边上，且

四边形MUPQ为正方形，则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ．

证明  因为∠B＝∠QMN＝∠C＝90°，

所以∠BQM＋∠QMB＝∠QMB＋∠NMC＝90°，

所以∠BQM＝∠NMC．

又因为QM ＝MN，所以△QBM≌△MCN．

同理可得△QHM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ．

3．括展

（1）如图，在Rt△ABH中．∠ABH＝90°，BE⊥AH于点E．所以

△A BE≌△BHE≌△AHB．

（2）如图，在Rt △QBM和Rt△BLK中，QB＝BL，QM⊥BK，所以

△QBM≌△BLK．

证明  因为∠BLK＝90°，QM⊥BK，

所以∠KBL＋∠QMB＝∠KBI十∠K＝ 90°

所以∠QMB＝∠K，

又因为QB＝ BL．

所以△QBM≌△BLK．

【典型例题3】

【答案解析】（1）如图4．过点A作AP∥EF．交CD于点P，过点B作BQ∥GH，交AD于点Q．

因为四边形ABCD是矩形．

所以AB∥DC，AD∥BC．

所以四边形AEFP，四边形BHGQ都是平行四边形，

所以AP＝EF，GH＝BQ．

又因为CH⊥EF．

所以AP⊥BQ．

所以∠QAT＋∠AQT＝90°．

因为四边形ABCD是矩形，

所以∠DAB＝∠D＝90°，

所以∠DAP＋∠DPA＝90°，

所以∠AQT＝∠DPA．

所以△PDA∽△QAB．

本文待续..

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