【与路径无关, 势函数与保守场】图解高等数学-下 23

13.3 与路径无关, 势函数与保守场

Path Independence, Potential Functions, and Conservative Fields

路径无关性

在有些场中(引力场和电场), 移动一物体(如电荷)在开区域 D 内从 A 到 B 所要做的功仅依赖物体移动的起始点和终点, 不依赖这两点经过的路径. 对于这样情况就成积分 ∫F⋅dr 在 D 内是路径无关的, 并称 F 在 D 上是保守的.

观察下面的动画在 F = (2x+y, x-y) 的场中, 沿着在两点间 3 种不同的路径做功总是相等结果 -8.

在保守场(Conservative Field)中的线积分将会与路径无关, 只与起始点和终点有关.

一旦为场 F 找到一个势函数 f, 那么就可以方便地算出两点间做功的积分了.

保守场的线积分

线积分的基本定理(Fundamental Theorem for Line Integrals) 为计算保守场中的线积分提供了一种方便的方式: