中考数学压轴题分析:半角模型与正切和角公式

本文内容选自2021年娄底中考数学几何压轴题。题目以等腰直角三角形半角模型为背景,考查勾股定理与三角函数有关的知识,题目适度创新,值得学习。


【中考真题】

(2021·娄底)如图①,、是等腰的斜边上的两动点,,且.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)如图②,作,垂足为,设,,不妨设,请利用(2)的结论证明:当时,成立.


【分析】

(1)通过条件得到边角关系,根据SAS即可证明结论。

(2)利用全等与勾股定理即可转化。本题实际上已告知辅助线的作法,因此难度不大。

(3)证明正切的和角公式成立,有一定难度。但是给的是特殊角45°的情况,因此相当于只需证明tan α+tan β=1-tan α·tan β即可。

再由AB=√2,得到AH=BH=CH=1,然后得到tan α=EH,tan β=FH。

进而转化为证明EH+FH=1-EH·FH成立。

题目提示需要用到(2)中的结论,那么可以考虑对(2)中的结论进行转化与变形。

(EH+FH)²=(1-EH)²+(1-FH)²,

通过化简可以得到EH+FH=1-EH·FH,结论可得。

【答案】证明:(1)是等腰直角三角形,





在和中,

(2)由(1)知,,
,,







在中,根据勾股定理得,,

(3)在中,,



,,
由(2)知,,



在中,,
在中,,
右边,

左边,
左边右边,
即当时,成立.

(0)

相关推荐