中考数学压轴题分析:半角模型与正切和角公式
本文内容选自2021年娄底中考数学几何压轴题。题目以等腰直角三角形半角模型为背景,考查勾股定理与三角函数有关的知识,题目适度创新,值得学习。
【中考真题】
(2021·娄底)如图①,、是等腰的斜边上的两动点,,且.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)如图②,作,垂足为,设,,不妨设,请利用(2)的结论证明:当时,成立.
【分析】
(1)通过条件得到边角关系,根据SAS即可证明结论。
(2)利用全等与勾股定理即可转化。本题实际上已告知辅助线的作法,因此难度不大。
(3)证明正切的和角公式成立,有一定难度。但是给的是特殊角45°的情况,因此相当于只需证明tan α+tan β=1-tan α·tan β即可。
再由AB=√2,得到AH=BH=CH=1,然后得到tan α=EH,tan β=FH。
进而转化为证明EH+FH=1-EH·FH成立。
题目提示需要用到(2)中的结论,那么可以考虑对(2)中的结论进行转化与变形。
(EH+FH)²=(1-EH)²+(1-FH)²,
通过化简可以得到EH+FH=1-EH·FH,结论可得。
【答案】证明:(1)是等腰直角三角形,
,
,
,
,
,
在和中,
,
;
(2)由(1)知,,
,,
,
,
,
,
,
,
,
在中,根据勾股定理得,,
,
;
(3)在中,,
,
,
,
,,
由(2)知,,
,
,
,
在中,,
在中,,
右边,
,
左边,
左边右边,
即当时,成立.
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