2021年11月各区县期中考试压轴解析(一):角平分线的性质定理

本次浦东和宝山的期中测试的25题都围绕着角的平分线展开,因此将两道压轴题归为一类,总结角平分线背景下辅助线的添加方式。

解法分析:本题是矩形背景下的点的运动问题,其中渗透了A/X型基本图形,相似三角形的性质以及角平分线的性质定理。
本题的第1问是等腰三角形的存在性问题,进行分类讨论,依据角的关系导出边之间的数量关系。其中需要注意的是矩形的对角线互相平分且相等,这为等角提供了条件。
本题的第2问是找到五边形面积S和时间t之间的数量关系。需要将五边形拆成两部分计算,分别是△OEC和四边形OFQC,对于△OEC,可以直接求其面积,过点O作BC垂线,即可求得其高;而四边形OFQC可以利用相似三角形的性质,通过面积比等于相似比的平方求得。其中蕴含了A/X型基本图形。
本题的第3问通过利用角平分线的性质定理或者解特殊的三角形求得t的值。
解法1:利用角平分线的性质定理以及面积间的等量代换计算
模型2:角平分线的性质定理
解法2:通过特殊的三角比(53°/37°三角形),解三角形计算
模型2:含3、4、5三角形的锐角三角比及边之比
解法分析:本题的背景是角平分线的性质定理。
本题的第1问是比例线段的证明,方法较多,有以下的证明方法:
方法1:添加平行线构造相似三角形
从结论中可以发现,AB、AC和BD、CD隶属于△ABD与△ACD,但是这两个三角形并不相似,因此为了得到结论中的比例线段,可以通过添加平行线构造相似三角形.
同样是添加平行线,但是解法2和3就比解法1要简单得多,因此在添加平行线时,一定要充分利用求证的结论,添加的平行线所涵盖的基本图形(A型或X型)尽量包含所要求证的比例关系,使得解法得以优化。
方法2:作等角构造相似三角形
解法4和解法5通过做等角构造了相似三角形,此时又出现了一个等腰三角形,因此转移了线段,得到了结论;解法6通过作垂线,构造了相似三角形,再利用X型基本图形,构造了中间比,得到了结论.
方法3:利用外接圆构造相似三角形
解法7利用了外接圆中同弧所对的圆周角相等的性质,得到了两组相似三角形,通过引入中间比,将结论证明得到.
方法4:利用同高的三角形面积比等于底之比证明
解法8结合了两个同高的三角形的面积比等于底之比的性质,以及结合了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质,利用面积法证明了结论。
本题第2问利用线段间的比例关系,利用二次相似计算,得出CE的长度,需要充分利用第一问的比例关系。当然,本题也可以通过添加辅助线求出CE的长度。
本题第3问涉及线段间比例关系的转化,由于E、M都是关键点,因此可以考虑过EM作平行线,此时又可以利用BD与CD的数量关系。本题可以考虑设元求解,通过代换的方式可以消去设的未知数。
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