袁亚湘院士《数学漫谈》报告全文 1
2020年3月14日，在中国工业与应用数学学会举办的网络科普活动中，中国科学院院士袁亚湘带来题为“数学漫谈”的主题报告。以下是根据直播视频整理的报告，供大家学习参考。
1 什么是数学
今天是国际数学节，是非常值得庆贺的日子。首先我想跟大家谈谈什么是数学。根据百度百科的说法，数学是研究数量、结构，变化、空间以及信息等概念的一门学科。大英百科全书把数学说成是关于结构、次序和关系等相关的一个学科。
实际上，数学不像其他的学科，有很多人对它进行描述和定义。比方说哲学家柏拉图曾经说过“数学是一切知识中的最高形式”。笛卡尔不仅是哲学家，也是数学家，他说“数学是知识的工具”。英国哲学家培根曾经说过“数学是通往科学的门也是科学的钥匙”。数学王子高斯曾经说过“数学是科学的皇后”。
著名哲学家和数学家的罗素则说“数学是符号加逻辑”。哲学家黑格尔说，“数学是上帝描述自然的符号”。法国著名的布尔巴基学派曾经说“数学是研究抽象结构的理论”。美国数学会副会长哈儿莫斯说，“数学是一种别具匠心的艺术”。哲学家维特根斯坦曾经说“数学是各式各样的证明技巧”。赫尔曼外尔曾经说过“数学是无穷的科学”。
大家可以看到这五花八门的不同定义。在中国古代的时候，数学也曾经叫做算术、算学和数学。我这里有三本书。一本书古老的《九章算术》。另外一本是民国时期的初中教材叫《算学》。还有一本书直接叫《数学》。
数学的英文叫“mathematics”。英文名来源于古希腊文“μαθηματικά”。根据它的发音，我查了一下，其直译的含义大概是“干什么就学什么”。所以大家一定要记住，数学不像别的东西（例如艺术）有灵感就行。数学一定要学才会，不学你是学不来的。
今天是数学节，为什么把今天（3月14日）选做数学节？大家知道跟圆周率π有关。例如直径为1的圆的周长的长度定义为圆周率。它精确到小数点后两位是3.14。
国际数学联盟（IMU），多年来一直在推动所谓的“π day”（也即圆周率节）。经过多年的努力，联合国科教文组织2019年11月在巴黎召开的全体大会上通过将每年的3月14日定为国际数学节。所以今天应该是世界各国首次共同庆祝法定的国际数学节，是个值得纪念的日子。
实际上，关于割圆术的研究应该是古代数学大家最感兴趣的事情。古希腊数学家阿基米德曾经通过估计圆的内接多边形周长和外切多边形的周长，很早就得出圆周率大概是22/7。
中国在割圆术方面在很长一段时间是领先世界的。比方说刘徽，它采用的是内接多边形的面积，和内接多边形面积+边。这样他做出了更加准确的圆周率的估计。
有很多计算π的公式。我这里列了一些。第一个是莱布尼兹公式，最后一个是号称现在要去用计算机去计算破纪录的公式。
谈到求π，从古埃及（公元前20世纪）开始到现在4000多年中，大家一直在探索。古埃及将π估计成。公元前12世纪，中国就估计π大约是3。实际上在《圣经》里面也有对圆周率的估计，也是3左右。
刚才已经谈到了阿基米德和刘徽在圆周率方面做出很大贡献。还有中国的祖冲之。他把圆周率精确到小数点后六位，即3.1415926和3.1415927之间。计算机出现以后，π的记录就不断刷新。在去年的3月14日，谷歌将π估计到31,415,926,535,897位。
关于π有很多神奇的故事。因为时间关系，我今天就讲其中的一个。不知道在座的观众有没有看过一个美剧叫做《疑犯追踪》。在第2季11集中，Harold Finch说过在π里面能够找到任意数列。当然这个东西数学家并没有证明，但是很多数学家认为可能是真的。
我试了试，我挑了我们建党的日子19210701，出现在π的第44,842,733位。如果输入去中华人民共和国成立之日，也就是19491001的话，就要往后很多，要到82,267,377位。开个玩笑，π都说明了要先有共产党才有新中国。
一个网友要求我要查一下1314，大家看到1314到3902位就找到了。所以各位观众，1314（一生一世）不是那么难啊。但是如果1314前面加个520（我爱你）的话，那就难多了。如果你要找5201314，那就要查到200多万位。所以同学们一定要记住啊，实际上爱情还是很艰难的。
圆周率的记号为什么是π？圆周率在西方也称为阿基米德常数，长期以来用一句很长的话来描述，以 “用它乘以直径就得到圆周长的量”来称呼。 π这个名称得益于英国数学家William Jones。他在1706年在他的一个本书中用π来代表圆周率。
当然π被全世界的人广泛使用则归功于著名数学家欧拉。
2 数学的特点
下面我想跟大家谈谈数学的几个特点。这也是从广大网友之前的留言中总结出来的。实际上数学特点非常多，我就挑以下五个关键词给大家讲讲：美丽、真理、有趣、真难和智慧。
2.1 数学之美
第一个讲的关键词是数学的美。首先我们来看一下。几乎所有的数学家都认为数学是美的。我举个例子，著名数学家巴拿赫说“数学是最美的，也是最有力的人类创造。”可见他对数学评价之高。
大家再看看数学的一些图形的美丽。第一排中间两个是达芬奇的画。下面是一些几何图形，有分形，也有几何的图案。
对称之美
数学的美有很多种，其中之一就是对称之美。前段时间，北大的张继平院士《开讲啦》讲了对称之美。对称显然是美的形式之一，在数学中对称随处可见。大家可以看到在下面的中间，是小学生都能看懂对称图形。最前面这个是对称多项式。
亚里士多德说数学为什么美的时候，谈了数学的几个要素。一个就是对称，当然他也谈到了序和限制。
比例之美
数学的另外一个美是比例。数学中有很多漂亮的比例。我这里只跟大家讲一个：黄金分割。黄金分割比例是。它实际上在古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中称作“中末比”。即一个线段分成长的和短的两部分，短的比长的等于长的比整个线段。
著名的画家达芬奇在画画的时候，大量用到这个比例。大家可以看到《蒙娜丽莎》中，眼睛到下巴的高度比上整个头的高度正好是黄金分割比例。如果把眼睛到下巴当作整个距离，嘴巴也刚好在黄金分割点。
实际上达芬奇肯定不是第一个用这个比例的，雅典的一个神庙建筑也大量使用了黄金比例。屋檐的高度跟整个庙高度的比是黄金分割比。这个建筑物的宽比长也是这个比例。
除了达芬奇和这个古希腊的这个建筑，很多人都推崇黄金分割比例。著名的天文学家开普勒(Johannes Kepler, 1571–1630)曾认为几何中有两大美女，一个就是黄金分割，另外一个是大家都知道的勾股定理。
简洁之美
数学的另外一个美是体现在它非常简洁。这里我给大家列下面四个数学公式，他们看上去都非常简洁，却都刻画了非常深刻的数学原理。
比方说第一个欧拉公式，非常简洁，非常漂亮，也非常神奇。它用到了数学最著名最重要的一些常数或记号。是欧拉常数，也是自然对数的底。是虚数。π是我们刚才谈到的圆周率。1是最基本的数。这四个东西和加号，等于号和0一起构成一个完美的公式。
牛顿定律是力学中最基本的定律。
欧拉点线面公式，也很简洁，也很神奇。一个多面体的顶点个数（）减去线条个数（），再加上面的个数（）永远等于2。
麦克斯韦方程，大家可以看到这么简单的一个方程，居然把电磁学的原理都刻画出来了。
神奇之美
另外一个数学的美，也就是非常神奇。首先是勾股定理。如下图所示，正整数的勾股对有无穷多对。
但是费马大定理告诉我们，当大于2时，没有正整数解。
费马是一个非常神奇的人。他并不是职业数学家，他本职是个律师。他30岁就当议员，47岁就是地方议会的终生议员。他也一直是业余研究数学，却提出了伟大的费马大定理。
另外一个神奇的数学猜想是哥德巴赫猜想。由于陈景润的工作，哥德巴赫猜想在我国我们这代人几乎家喻户晓。
哥德巴赫猜想:任何大于4的偶数可写成两个素数之和。
哥德巴赫也是个业余数学家。他出生普鲁士柯尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒），欧拉七桥问题就发生在这个城市。所以哥德巴赫是出生在一个有数学文化的城市。他35岁就是圣彼得堡皇家科学院的数学和历史教授。三年后去莫斯科当沙皇的私人教师。相当于过去在我们紫禁城里当皇帝的老师。他四年以后就一直在俄国外交部任职。所以他也一直是业余研究数学。
哥德巴赫猜想是他在外交部任职时给欧拉写信时提出的。当然很遗憾，这些数学结果到目前为止都还没被证明。陈景润证明了“1+2”，也就是一个大的偶数，都可以写成一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和。
干净之美
数学的另外一个美丽就是它的干净。数学证明必须坚实、干干净净，没有任何瑕疵。英国哲学家、医生、自由主义之父约翰.洛克有着非常著名的著作，包括《人类理解论》和《政府论》。他的理论应该说激励了美国革命和法国大革命。对美国宪法和《独立宣言》都有着极大的影响。
就是这么一位著名的哲学家和思想家，把数学的证明说成是像钻石一样的美，所谓的美丽就是又坚固、又漂亮，又干干净净。
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Mathematical proofs, like diamonds, are hard and clear, and will be touched with nothing but strict reasoning.
极美、高冷
数学还有一个美的特点是它像一个高高在上的，对别人都很冷淡的素颜的美人。这话的原话可以追溯到罗素。
罗素是英国的哲学家，也是数学家，而且他是一个获得过诺贝尔文学奖的数学家。他说数学冷得像个雕塑。在他的眼里其他的艺术，包括舞蹈，音乐等都比不上数学。只有雕塑才能跟数学这种极美相比。
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Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty - a beauty cold and austere, like that of sculpture, ... ... such as only the greatest art can show.
2.2 数学之真
第二个关键词我想跟大家谈谈数学的真。
公理化
数学为什么真呢？数学做什么事情一定都要讲道理，从什么东西推导什么东西。但是往回推导的话总要有一个基础。所以数学家他干什么事情都要有公理化。
大家知道平面几何，有欧几里得的五条公理。欧几里德是一个古希腊数学家。这里还有个有趣的故事。欧几里得在给托勒密一世讲几何的时候，国王问他学几何有没有捷径。欧几里得有一个非常漂亮的回答。他说通往几何的途中，没有为国王专门铺设的平坦道路。
集合论里有ZF公理体系。所以数学家要建立数学理论，一定要基于公理。这么来说数学实际上也是一种信仰。数学家大多都是有理想，有信仰的。就像我一样，是一个共产党员。
我再给大家举几个是共产党员的数学家的例子。一个是李天岩教授。李天岩教授祖籍湖南，出生在福建。两三岁就跟着国民党撤退去台湾。他在台湾长大，台湾清华大学毕业。后来在美国终身执教。他曾经说过这样的话：“如果年轻人不相信共产党，说明你这个人根本是没心的”。
李天岩:
When you are young, if you do not believe in communism, you do not have a heart!
另外一个教授是美国著名数学家斯梅尔。他也是个非常厉害的数学家，他获得过菲尔兹奖。他年轻的时候也是美国共产党员。