高中数学:三角函数知识点

1.正弦函数图像(几何法)

2.正切函数图像

3.三角函数的图像与性质

4.主要研究方法

5.主要内容

三角函数解题技巧

  三角函数是高考数学核心考点之一。它侧重于考查学生的观察能力、思维能力和综合分析能力,在高考试题中始终保持"一大一小"甚至是"一大两小"的模式。

  一、见“给角求值”问题,运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间(-90o,90o)的公式.

  1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)

  2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)

  3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)

  4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z)

  二、见“sinα±cosα”问题,运用三角“八卦图”

  1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方(或下方)

  2.sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方(或下方)

  3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内

  4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内

  三、见“知1求5”问题,造Rt△,用勾股定理,熟记常用勾股数(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),仍然注意“符号看象限”。

  四、见“切割”问题,转换成“弦”的问题。

  五、“见齐思弦”=>“化弦为一”:已知tanα,求sinα与cosα的齐次式,有些整式情形还可以视其分母为1,转化为sin2α+cos2α.

  六、见“正弦值或角的平方差”形式,启用“平方差”公式:

  1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β

  2.cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β

  七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题,起用平方法则:

  (sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故

  1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α

  2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α

  八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题,启用变形公式:

  tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)。思考:tanα-tanβ=?

  九、见三角函数“对称”问题,启用图象特征代数关系:(A≠0)

  1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;

  2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于其中间零点分别成中心对称;

  3.同样,利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。

  十、见“求最值、值域”问题,启用有界性,或者辅助角公式:

  1.|sinx|≤1,|cosx|≤1

  2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2)

  3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2

  十一、见“高次”,用降幂,见“复角”,用转化。

  1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1

  2.2x=(x+y)+(x-y)

  2y=(x+y)-(x-y)

  x-w=(x+y)-(y+w)等

  正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数统称为三角函数。它们的地位和作用与一次函数、二次函数、幂函数、指数函数以及对数函数一样,都是基本初等函数。

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