压轴题打卡35：圆有关的综合问题

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC=3/4，点O是AB边上动点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，联结BE、AE

（1）当AE∥BC（如图（1））时，求⊙O的半径长；

（2）设BO=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E，当⊙A恰好也过点C时，求DE的长．

参考答案：

考点分析：

圆的综合题；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

题干分析：

（1）过点O作OG⊥BD于G，设AB与DE的交点为F，如图（1），易证△AEF≌△BDF及四边形AEDC是平行四边形，从而可得BD=DC=5，根据垂径定理可得BG=DG=BD/2=5/2，然后在Rt△BGO中运用三角函数和勾股定理即可求出⊙O的半径长；

（2）过点A作AH⊥BC于H，如图（2），运用三角函数、勾股定理及面积法可求出AC、AB、AH、BH、CH，根据垂径定理可得DF=EF，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AD．然后在Rt△BGO中运用三角函数和勾股定理可求出BG（用x的代数式表示），进而可用x的代数式依次表示出BD、DH，AD、AE，问题得以解决；

（3）①若点D在H的左边，如图（2），根据等腰三角形的性质可得DH=CH，从而依次求出BD、DF、DE的长；②若点D在H的右边，则点D与点C重合，从而可依次求出BD、DF、DE的长．